Reprezentacje przybliżone

W rozdziałach 2.4 i 3 przedstawiliśmy elegancki matematycznie opis właściwości sygnału. Elegancję uzyskano dzięki przyjęciu szeregu upraszczających założeń:

• całki we wzorach na transformaty (Fouriera i Wignera) przebiegają od $-\infty$ do $\infty$. W rzeczywistości mamy do czynienia ze skończonymi odcinkami sygnałów
• również falki (rozdział 3.4), których iloczyn skalarny z sygnałem daje szukane współczynniki, są zwykle niezerowe również poza analizowanym odcinkiem sygnału
• nie braliśmy wreszcie pod uwagę faktu, że sygnał może być niedokładną realizacją dopasowywanego modelu, tzn. może w nim występować, poza elementami opisywanymi przez model, szum

Szum jest pojęciem względnym; informacja kluczowa dla pewnych zastosowań może stanowić nie pasujące do modelu zakłócenia przy innej analizie tego samego sygnału:

• szum może być wynikiem występowania w sygnale zjawisk nie przewidzianych przez zastosowany do analizy model
• sam model generacji może zawierać elementy stochastyczne (przypadkowe), jak np. przy opisie rozpadu jąder promieniotwórczych
• nawet jeśli sygnał powstaje w wyniku interakcji ściśle deterministycznych procesów, ich ilość i stopień złożoności mogą być tak duże, że dużą ich część (możliwie słabszych) musimy traktować jak szum
• wreszcie każdy pomiar sygnału, będący pierwszym stadium analizy, niesie ze sobą błędy pomiarowe

Stopień ,,zaszumienia'' sygnału opsisuje stosunek (energii) sygnałzum (Signal to Noise ratio) - S. Liczony jest zwykle w decybelach (dB)^4.1 jako logarytm dziesiętny stosunku całkowitej mocy sygnału $P_\mathit{syg}$ do mocy szumu $P_\mathit{szum}$;

$$S = 10 \log_{10} \frac{P_\mathit{syg}}{P_\mathit{szum}} \; \mathrm{[dB]}$$ (4.1)

Tak więc czas pogodzić się z faktem, że w praktyce najczęściej będziemy zadowalać się, zamiast dokładnego wzoru (1.1), reprezentacjami przybliżonymi typu

$$s(t) \approx \sum_{k} \alpha_k g_k$$ (4.2)