Gęstość energii w przestrzeni czas-częstość

Z definicji transformaty Wignera (wzór 3.1, strona ) i reprezentacji sygnału w postaci sumy dopasowanych przez algorytm funkcji Gabora (równanie 4.6) możemy skonstruować estymatę gęstości energii sygnału w przestrzeni czas-częstość. Transformata Wignera równania (4.6) daje

$${ \mathcal{W}_s = \sum_{n=0}^\infty \vert<R^n s, \;g_{\gamma_n}>\vert^2 \mathcal{W}_{g_{\gamma_n}} + }$$

$$+ \sum_{n=0}^\infty \; \sum_{m\not=n} <R^n s,\; g_{\gamma_n}> \overline{<R^m s, \; g_{\gamma_m}>} \mathcal{W}_{g_{\gamma_n}, g_{\gamma_m}}$$

Podwójna suma zawiera wyrazy mieszane, znacząco fałszujące obraz rozkładu energii sygnału w klasycznej transformacie Wignera i pochodnych; minimalizacja ich wkładu w tych rozkładach jest przedmiotem zastosowań zaawansowanych technik matematycznych. Dzięki rozkładowi sygnału postaci równania (4.6), możliwe jest ich usunięcie explicite -- po prostu pomijamy podwójną sumę, definiując wielkość $E s (t,\omega)$:

$$E s (t, \omega) = \sum_{n=0}^\infty \vert<R^n s, \;g_{\gamma_n}>\vert^2 \; \mathcal{W}_{g_{\gamma_n} (t, \omega)}$$ (4.10)

Dystrybucja Wignera pojedynczego atomu $g_\gamma$ spełnia

$$\int _{-\infty}^{+\infty} \int _{-\infty}^{+\infty} \mathcal{W}_{g_{\gamma} (t, \omega)} \: d t \:d \omega = \vert\vert g_{\gamma}\vert\vert^2 = 1$$ (4.11)

co w połączeniu z zachowaniem energii rozwinięcia MP (eq. 4.6) daje

$$\int _{-\infty}^{+\infty} \int _{-\infty}^{+\infty} E s (t, \omega)\: d t \: d \omega = \vert\vert s\vert\vert^2$$ (4.12)

Uzasadnia to interpretację wielkości $Ef(t,\omega)$ jako gęstości energii sygnału $s(t)$ w przestrzeni czas-częstość.

Rysunek: Dekompozycja sygnału z rys. 4.1 z liniowym dodatkiem szumu o dwukrotnie większej energii $(S = -3 dB)$

Wynik działania algorytmu ze słownikiem funkcji Gabora przedstawia rysunek 4.1; sygnał zasymulowano jako sumę sinusa, delty Diraca (jednopunktowej nieciągłości) i trzech funkcji Gabora o parami jednakowych położeniach w czasie i częstościach. Rysunek 4.2 przedstawia dekompozycję tegoż sygnału z dodanym liniowo szumem o dwukrotnie większej energii.