Przybliżenia adaptacyjne (adaptive approximations)

Zrozumieć w kulturze europejskiej znaczy często powiedzieć własnymi słowami. Podobnie analiza funkcji polegać może na jej przedstawieniu--lub przybliżeniu--z pomocą funkcji o znanych właściwościach. Kontynuując tę analogię, zbiór znanych funkcji, z pomocą których będziemy chcieli wytłumaczyć funkcję nieznaną, nazwiemy słownikiem. Szczególnym przypadkiem słownika jest baza ortogonalna--najmniejszy kompletny słownik.

Z pomocą niewielu prostych i podstawowych słów można wytłumaczyć niemal dowolnie skomplikowane idee. Jednak opis z użyciem ubogiego słownika nie będzie zwięzły ani elegancki. Dla trafnego wyrażenia subtelnych i nieuchwytnych idei--bądź słabych i przejściowych składowych sygnału--potrzebujemy obszerniejszego słownika, wzbogaconego o wyrażenia fachowe lub licencję poetycką. W analizie sygnałów słownik możemy rozszerzać niemal dowolnie--wystarczy sparametryzować ogólną postać funkcji składowych.

Dokładny opis sygnału (tj. badanej funkcji) w słowniku większym niż baza wprowadza redundancję. Zwięzłość osiągnąć możemy godząc się na przybliżenie sygnału, ale za to z pomocą możliwie niewielkiej ilości funkcji. Jeśli ilość wybranych do reprezentacji sygnału funkcji słownika nazwiemy rozmiarem reprezentacji, to dążyć będziemy zwykle do sytuacji, w której:

rozmiar reprezentacji $<$ wymiar bazy $\ll$ rozmiar słownika

Reprezentację optymalną możemy określić jako taki podzbiór elementów słownika, którego liniowa kombinacja tłumaczy największy procent energii sygnału wśród wszystkich podzbiorów o tej samej liczebności. Wybór takiej reprezentacji jest obliczeniowo NP-trudny^4.2, toteż w praktyce zadowalamy się iteracyjnym rozwiązaniem sub-optymalnym--zaproponowanym w 1993 przez S. Mallata i Z. Zhanga [11] algorytmem Matching Pursuit (MP).

Rysunek: Uzyskana z rozkładu MP gęstość energii sygnału w przestrzeni czas-częstość.

W analizie sygnałów używamy zwykle słowników złożonych z funkcji Gabora (Gauss modulowany sinusem) ze względu na ich optymalną lokalizację w przestrzeni czas-częstość. Reprezentacja złożona z funkcji Gabora pozwala również na konstrukcję eleganckiej estymaty gęstości energii sygnału w przestrzeni czas-częstość, usuwającej a priori problem wyrazów mieszanych obecny w tego typu dystrybucjach.