Reprezentacje czas-częstość

Transformata Wignera i jej pochodne dają jako pierwotny wynik estymatę gęstości energii sygnału w przestrzeni czas-częstość; jej pełny obraz zawiera rzędu $N^2$ wartości -- dla sygnału o długości $N$ punktów mamy w każdym punkcie $N/2$ częstości. Z kolei przekształcenia Fouriera czy falkowe opisują sygnał w kategorii współczynników określających ,,dopasowanie'' sygnału do konkretnych funkcji: $e^{i\omega t}$, $g(t)e^{i\omega t}$ czy $\psi(\frac{t-u}s)$. Ilość tych funkcji, których iloczyn z sygnałem będziemy traktować jako jego reprezentację, ustalamy właściwie dowolnie, ale zwykle jest ona bliższa rozmiarowi sygnału $N$ niż $N^2$. W szczególnym przypadku bazy ortogonalnej, którą można stworzyć z funkcji $e^{iwt}$ lub falek $\psi(\frac{t-u}s)$, będzie ich dokładnie $N$.

Z tych współczynników możemy również utworzyć mapę gęstości energii sygnału w przestrzeni czas-częstość. Każdy iloczyn określa zawartość energii sygnału w pewnym przedziale czasu i częstości. Ze względu na zasadę nieoznaczoności, iloczyn tych przedziałów (,,pole'') nie może być dowolnie mały. Dla spektrogramu będą to jednolite przedziały o rozmiarach wyznaczonych przez szerokość okna $g(t)$. Z kolei w przypadku transformacji falkowej wzrost częstości funkcji związany jest ze zmianą skali $s$, czyli ,,rozciąganiem'' $\psi$, dlatego funkcje o niższej częstości będą zajmowały większy przedział czasu.

Okazuje się, że tworzone w ten sposób estymaty gęstości energii są równoważne pewnym sposobom uśredniania transformaty Wignera.

Która z tych metod jest najlepsza? Przede wszystkim musimy ustalić, co w tym miejscu znaczy ,,lepszy''. Mamy do czynienia z reprezentacjami sygnału w postaci iloczynów z ustalonymi zestawami funkcji; najlepsza będzie taka reprezentacja, dla której większość z tych iloczynów jest bliska zeru. Dlaczego? Przede wszystkim oznacza to, że najważniejsze (lub raczej najsilniejsze) cechy sygnału udało się wyrazić z pomocą niewielu znanych funkcji, których iloczyny z sygnałem są istotnie różne od zera. Tak zwięzły opis sygnału odkrywa zwykle jego podstawowe cechy i ułatwia dalszą analizę. Poza poznaniem głównych cech badanego sygnału, wymiernym celem jest często kompresja.

Jeśli funkcje używane do analizy sygnału tworzą bazę ortogonalną, jak w przypadku transformaty Fouriera czy niektórych falek, to reprezentacj w takiej bazie zawiera dokładnie ilość informacji potrzebną do odtworzenia sygnału. Jeśli ilość funkcji wybranych do reprezentacji jest większa niż wymiar bazy, to mamy do czynienia z redundancją, ale odtworzenie sygnału z wartości iloczynów jest zwykle również możliwe. Tak więc jeśli zapiszemy tylko wartości większych iloczynów, to odtworzony z nich sygnał powinien być podobny do oryginału -- jest to kompresja stratna, stosowana np. w popularnych formatach mp3 czy jpeg.

Problem wyboru reprezentacji pozostaje otwarty:

• transformata Fouriera opisuje zwięźle sygnały stacjonarne, w których dominuje niewielka ilość częstości (sinusoidalnych)
• w krótkoczasowej transformacie Fouriera trudno odgadnąć dla nieznanego sygnału optymalną szerokośc okna (por. dolne wykresy na rys. 3.5),
• w reprezentacji falkowej (a z różnych falek możemy konstruować różne reprezentacje) zwięźle opiszemy krótkie struktury przejściowe (ang. transients), ale np. długi sinus będzie dawał duże wartości iloczynów z wieloma falkami (rys. 3.5)

Dla każdego sygnału zwięzłą reprezentację możemy uzyskać wyrażając go w innym zestawie funkcji. A gdyby tak dopasować reprezentację do sygnału, wybierając odpowiednie funkcje z ogromnego (względem rozmiaru bazy, czyli redundantnego) zestawu? To podejście opisane jest w rozdziale 4.2.

Rysunek: Reprezentacje gęstości energii sygnału (długości 256 punktów), przedstawionego na dole rysunku, w przestrzeni czas-częstość, liczone na podstawie (od dołu): spektrogramów z oknami szerokości 32 i 64 punkty, transformacji falkowej w bazie ortogonalnych falek (falki Meyera) i algorytmu dopasowania krokowego 4.2. Po lewej stronie każdego wykresu przedstawione widmo mocy sygnału. W każdym przypadku oś częstości skierowana ku górze.

Rysunek: Przykłady funkcji używanych do reprezentacji sygnału na rys. 3.5, w kolumnach od lewej: falki, funkcje używane w spektrogramie, elementy słownika Gabora (dopasowanie krokowe).

transformata falkowa: rozciąganie i przesuwanie falki bazowej

spektrogram: stała obwiednia modulowana różnymi częstościami

aproksymacje adaptacyjne: zmienna obwiednia i częstość modulacji