Ćwiczenia: poniedziałki, godz. 16:15-18:00, sala 2.08
Wymagania: Znajomość pojęć, konstrukcji i twierdzeń geometrii różniczkowej (na poziomie kursu Geometria różniczkowa I na Wydziale Fizyki UW), algebry (na poziomie kursu Algebra IR i IIR na Wydziale Fizyki UW) i rudymentów teorii grup (na poziomie kursu Teoria grup I na Wydziale Fizyki UW).
Terminy i miejsca kolokwiów i egzaminów:
kolokwium: 2024 r., godz. ; sala
egzamin pisemny: 2024 r.; godz. ; sala
egzamin ustny: 2024 r.; godz. ; sala
Warunki dopuszczenia do egzaminu: Uczestnictwo w wykładach. Zaliczenie Ćwiczeń.
Warunki zaliczenia: Poprawna odpowiedź na dwa spośród pytań z Listy pytań egzaminacyjnych (po jednym z działów I. i II.) wylosowane przez osobę egzaminowaną albo zreferowanie tematu do samodzielnego opracowania (z listy zamieszczonej poniżej) w formie ustnej lub pisemnej.
Tematy do samodzielnego opracowania:
Grupa Spin jako uniwersalna nakrywająca grupy obrotów — od przestrzeni kwadratowych do spinorów.
Elementy teorii supergrup i superalgebr Liego, ścisłe modelowanie supersymetrii.
Pętlowe algebry Liego i ich rozszerzenia centralne w dwuwymiarowej konforemnej teorii pola.
Grupy kwantowe Drinfelda—Jimbo jako struktury symetrii w dwuwymiarowej wymiernej konforemnej teorii pola i ich klasyczne pochodzenie.
Zastosowania rachunku Cartana w opisie nieliniowych realizacji symetrii — od wiązek głównych po odwrotny efekt Higgsa.
Działania grup Liego na rozmaitościach — pola fundamentalne, działania właściwe, rozmaitości ilorazowe, konstrukcja wiązki stowarzyszonej.
Kryterium Tuynmana—Wiegerincka całkowalności rozszerzenia centralnego algebry Liego do rozszerzenia centralnego grupy Liego — wiązki główne i odwzorowanie momentowe.
Kwazi-niezmiennicze gęstości lagranżjanu w języku kohomologii grup i algebr Liego.
Geometryzacja klasy obstrukcji dla prolongacji wiązki głównej wzdłuż rozszerzenia centralnego grupy strukturalnej przez U(1) — wiecheć prolongacji wg Murraya.
Interpretacja algebro-geometryczna wyższych grup kohomologii algebr Liego o wartościach w module trywialnym |R i jej zastosowania w modelach dynamiki naładowanych obiektów rozciągłych.
Konstrukcja reprezentacji o najwyższej wadze (pół)prostych algebr Liego — od uniwersalnej algebry obwiedniej do modułów Vermy. (Każdy szanujący się fizyk matematyczny powinien go przerobić, co nie jest ani trudne, ani czasochłonne.)
Joachim Hilgert i Karl-Hermann Neeb, Structure and Geometry of Lie Groups, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2012.
José A. de Azcárraga i José M. Izquierdo, Lie groups, Lie algebras, cohomology and some applications in physics, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, 1995.
Brian Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 222, Springer, 2015.
Jürgen Fuchs i Christoph Schweigert, Symmetries, Lie Algebras and Representations, A graduate course for physicists, Cambridge University Press, 1997.
Shoshichi Kobayashi i Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, John Wiley & Sons, 1963-69.
Peter W. Michor, Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 93, American Mathematical Society, 2008.
Yvonne Choquet-Bruhat, Cécile DeWitt-Morette i Margaret Dillard Bleick, Analysis, Manifolds and Physics, Part I, II, Elsevier, 1996-2000.
John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 218, Springer, 2013.
Борис А. Дубровин, Сергей П. Новиков, Анатолий Т. Фоменко, Modern Geometry - Methods and Applications, vol. 1,2,3, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 93, 104, 124, Springer, 1984-90 (tłumaczenie pracy oryginalnej Современная геометрия, Методы и приложения, Том 1, 2, 3, Наука, 1979).
Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5, Springer, 1971.
Tom Leinster, Basic Category Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, Vol. 143, Cambridge University Press, 2014.
...
Materiały uzupełniające:
R.R.S., „Algebra. Podstawy”, skrypt do wykładu z „Algebry I i II R” (wersja przed-ostateczna, wszelkie uwagi mile widziane).
R.R.S., ,,Action directe grupy Liego'' — ucieczka z Kina Powszedniość w przestrzenie jednorodne przy użyciu Twierdzenia Cartana (o podgrupie domkniętej) i Twierdzenia o rozmaitości ilorazowej
Retro