Przekształcenie Fouriera

A jeśli sygnał nie jest ściśle okresowy? Jeśli pewne struktury powtarzają się, ale nie na tyle dokładnie by spełnić matematyczny wymóg okresowości $\forall t \, s(t + T) = s(t)$?

Przejdźmy do nieskończoności z okresem sygnału: $T\rightarrow\infty$. Wtedy odstęp $\left(\frac{2\pi}{T}\right)$ między częstościami kolejnych elementów sumy z równania (2.5) dąży do 0 i suma przechodzi w całkę

$$s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f$$ (2.13)

funkcja $\hat{s}(f)$ to transformata Fouriera sygnału $s(t)$, czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera $\mathcal{F}$.

$$\mathcal{F}\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t$$ (2.14)

Jak widać, transformata Fouriera jest zespoloną funkcją częstości. Jej moduł dla danej częstości $f$ opisuje jej ,,zawartość'' w sygnale, a faza odpowiada za ,,składanie'' poszczególnych częstości w sygnał (2.13).

Moduł transformaty Fouriera odpowiada^2.7na postawione na początku tego rozdziału pytanie o opis częstości zawartych w sygnale niekoniecznie okresowym, jak miało to miejsce w przypadku szeregów Fouriera (równanie 2.5). Tak naprawdę, to dla sygnału okresowego, opisanego równaniem (2.13), nie da się policzyć transformaty Fouriera, bo całka (2.14) jest nieskończona. Ogólnie dla sygnałów okresowych nie jest spełniony warunek $\int_{-\infty}^{\infty} \vert s(t)\vert d t < \infty$. Na szczęście sygnały występujące w przyrodzie, szczególnie po przekształceniu na formę dyskretną, zawsze spełniają warunki istnienia transformaty Fouriera^2.8.

Twierdzenie 2 (Tożsamość Parsevala dla całek Fouriera)  

$$\int_{-\infty}^{\infty} \vert s(t) \vert^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} \vert \hat{s}( f ) \vert^2 d f$$ (2.15)

Proof. [Dowód]

$$\int_{-\infty}^{\infty} \vert s(t) \vert^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \overline{s(t)} dt = \int_{-\infty}^... ... \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} e^{i 2\pi t f} d f \right) dt =$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \left( \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi t f} d t \right) df =$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} \hat{s}(f) d f = \int_{-\infty}^{\infty} \vert \hat{s}(f) \vert^2 d f$$

(przy przejściu do drugiej linii zamieniono kolejność całkowania według twierdzenia Fubiniego, str. ). $\qedsymbol$

Przykład 2.2   Policzmy transformatę Fouriera ,,schodka'' danego równaniem (2.11). Tym razem nie będziemy ,,uzupełniać'' sygnału do nieskończonej postaci okresowej, gdyż wtedy całka (2.14) byłaby rozbieżna. Ograniczymy się do jednego okresu funkcji...