Szereg Fouriera

Sygnał okresowy (o okresie $T$) można przedstawić w postaci szeregu Fouriera:

$$s(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n}$$ (2.5)

$$\qquad c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^\frac{2\pi i n t}{T} d t$$ (2.6)

Proof. [Dowód (wzoru 2.6 na współczynniki rozwinięcia Fouriera)] Mnożymy obie strony równania 2.5 przez $e^\frac{2\pi i k t}{T}$ i całkujemy po $dt$ od 0 do $T$:

$$\int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt$$ (2.7)

Całki po prawej stronie znikają dla $k \ne n$. Jedyny niezerowy wyraz dla $k = n$ wynosi $\int_0^T c_n dt$, czyli $c_n T$ (bo $e^0=1$). $\qedsymbol$

Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów z odpowiednimi wagami. Wagi {$c_n$} możemy traktować jako względny ,,udział'' odpowiadających im częstości.

Twierdzenie 1 (Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera)  

$$\frac{1}{T} \int_0^T \left\vert s(t) \right\vert^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left\vert c_n \right\vert^2$$ (2.8)

Proof. [Dowód]

$$\frac{1}{T} \int_0^T \left\vert s(t) \right\vert^2 d t = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \;=$$

$$= \frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\... ...\sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t =$$

$$\left\Vert \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} = \delta_{(m-n)} T \;\right\Vert$$

$$= \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;=\: \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n^2$$

$\qedsymbol$