Przykład 2.1
Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji
(rys. 2.1),
określonej na przedziale
w następujący sposób:
![$\displaystyle \Theta(t) = \left\{ \begin{array}{rcl} 1 &, & t \in [0, \frac{1}{2})\\ 0 &, & t \in [ \frac{1}{2}, 1] \end{array} \right.$](img160.png) |
(2.11) |
Bezpośrednio z wzoru 2.6 dostajemy (dla
)
Tak więc z wzoru 2.5
W sumie kosinusów wyrazy dla
znoszą odpowiednie wyrazy dla
, w sumie
sinusów wyrazy dla
dodają się, dając w efekcie
![$\displaystyle \Theta(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(2\pi (2n-1) t\right)}{(2n-1)}$](img171.png) |
(2.12) |
Rysunek:
Od góry, kolejno:
funkcja
(równanie 2.11), ,,uzupełniona'' do funkcji okresowej według wzoru
2.10, pierwszych 30 współczynników szeregu Fouriera,
kwadraty współczynników szeregu Fouriera -- dyskretne widmo,
pierwszy wyraz rozwinięcia Fouriera, sumy pierwszych 10, 50, 500 i 5000 wyrazów rozwinięcia
(2.12). Jak widać, najtrudniejsza do wyrażenia z pomocą funkcji
trygonometrycznych jest nieciągłość funkcji
w punktach
; niejednorodna
zbieżność szeregów Fouriera w tych rejonach nosi nazwę efektu Gibbsa.
|