Systemy liniowe niezmiennicze w czasie (LTI)

Matematycznie system traktować będziemy jako transformację (operator), przekształcającą sygnał wejściowy $x(t)$ w $y(t)$:

$x \longrightarrow$ $\longrightarrow T\{x\} = y$

Będziemy się zajmować klasą systemów liniowych niezmienniczych w czasie (ang. Linear Time-Invariant, LTI), działających na sygnałach dyskretnych, czyli:

$x[n] \longrightarrow$ $\longrightarrow T\{x[n]\} = y[n]$

System $T$ jest liniowy, gdy:

$$T\{a x_1+b x_2\} = a T\{x_1\} + b T\{x_2\} = a y_1 + b y_2$$ (2.1)

Dla takiego systemu interesujące będzie badanie przekształcenia sekwencji jednostkowej

$$\delta[n]=\left\{ \begin{array}{l} 1 \;\mathrm{dla} \; n=0\\ 0 \;\mathrm{dla} \; n\ne 0 \end{array} \right .$$ (2.2)

Niech $h_k(n)$ - odpowiedź systemu $T$ na impuls jednostkowy w punkcie $k$:

$$h_k[n] = T\{\delta[n-k]\}$$

Każdy dyskretny sygnał $x$ możemy przedstawić jako ważoną sumę sekwencji jednostkowych:

$$x[n] = \sum_k x[k] \delta[n-k]$$

Gdzie $x[k]$, czyli wartość sygnału $x$ w punkcie k, przyjmuje rolę liczby mnożącej funkcje $\delta[n-k]$. Jeśli $T$ jest systemem liniowym, to

$$y[n] = T\left\{ \sum_k x[k]\delta[n-k] \right\} =\sum_k x[k] T\left\{\delta[n-k]\right\} = \sum_k x[k] h_k[n]$$

Jeśli system jest niezmienniczy w czasie, to odpowiedź na sekwencję jednostkową $T\{\delta[n-k]\} = h_k[n]$ będzie niezależna od $k$: $T\{\delta[n-k]\} = h[n]$. Wtedy

$$y[n]=\sum_k x[k] h[n-k] = x[n] \star h[n] = h[n] \star x[n] = \sum_k h[k] x[n-k]$$ (2.3)

gdzie $\star$ oznacza splot^2.3. Otrzymaliśmy w ten sposób pierwszy ważny wynik:

Znając odpowiedź systemu liniowego niezmienniczego w czasie na sekwencję jednostkową, możemy obliczyć jego odpowiedź na dowolny sygnał. Tak więc funkcja odpowiedzi impulsowej systemu LTI stanowi jego kompletny opis.

$\longrightarrow$ $\longrightarrow$

Następnym krokiem w badaniu własności matematycznych przekształceń bywa poszukiwanie punktów stałych, czyli niezmienników. Rozważmy przekształcenie LTI wykładniczej funkcji zespolonej^2.4 $e^{i\omega n}$; z (2.3)

$$T\left\{e^{i\omega n}\right\} = \sum_k h[k]\, e^{i\omega (n-k)} = e^{i\omega n} \sum_k h[k]\, e^{-i\omega k}$$ (2.4)

Przed znak sumy wyciągneliśmy podlegającą transformacji zespoloną funkcję wykładniczą $e^{i\omega n}$. Wartość sumy $\sum_k h[k]\,e^{-i\omega k}$ zależy od funkcji odpowiedzi impulsowej systemu $h[k]$ i częstości $\omega$^2.5. Tak więc odpowiedź systemu LTI na funkcję $e^{i\omega n}$ polega na wymnożeniu tej funkcji przez liczbę, czyli inaczej mówiąc funkcje zespolone od argmentu urojonego są wektorami własnymi przekstałceń LTI, a odpowiadające im wartości własne to $\sum_k h[k]\,e^{-i\omega k}$.

Gdybyśmy potrafili dowolną funkcję rozłożyć na sumę zespolonych funkcji wykładniczych, np. w postaci

$$s[n] = \sum_k a_k e^{i k n},$$

działanie systemów LTI ograniczałoby się do łatwo obliczalnych modyfikacji współczynników $a_k$. Następne rozdziały odpowiadają na pytanie, czy jest to możliwe. Rozważania te będzie łatwiej prowadzić w przestrzeni funkcji ciągłych, stąd na pewnien czas dyskretny sygnał $s[n]$ zastąpimy ciągłym $s(t)$. Zacznijmy od prostszego przypadku sygnałów okresowych^2.6.