Transformata Wignera

Dla sygnałów niestacjonarnych moc widmowa nie musi być stała w czasie, gdyż zawartość częstości może się zmieniać. Analiza tego typu sytuacji wymaga śledzenia zmian gęstości energii sygnału jednocześnie w czasie i częstości. Pierwszym pomysłem będzie usunięcie z wzoru (2.29) na moc widmową (twierdzenie Wienera-Chinczyna):

$$\displaystyle \int e^{-i\omega \tau} \left( \int f(t) f(t+\tau) dt \right) d\tau$$

całki po czasie. Dostaniemy w ten sposób^3.2 funkcję zależną explicite od czasu i częstości -- transformatę Wignera-de Ville'a:

$$\mathcal{W}_s(t, \omega)=\int s \bigl (t + \frac{\tau}{2} \bigr)\; \overline{ s\bigl(t- \frac{\tau}{2} \bigr )\; } e^{- i \omega \tau } d \tau$$ (3.1)

Reprezentacja tej postaci ma podstawowe zalety:

• zachowuje energię sygnału,
• wartości brzegowe: wycałkowana po czasie $\mathcal{W}_s$ daje kwadrat modułu transformaty Fouriera $\vert s(\omega)\vert^2$, a wycałkowana po częsctości -- $\vert s(t)\vert^2$,

oraz wady: może być ujemna oraz zawiera wyrazy mieszane.