Funkcja systemu

Systemy liniowe niezmiennicze w czasie dają się opisać z pomocą liniowych równań różnicowych o stałych współczynnikach:

$$\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] = \sum_{l=0}^L b_l x[n-l]$$ (2.32)

Zastosujmy do obu stron równania 2.32 przekształcenie $Z$ (patrz dodatek A.3)

$$Z\left\{\sum_{k=0}^K a_k y[n-k] \right\} = Z\left\{ \sum_{l=0}^L b_l x[n-l] \right\}$$

$$\sum_{k=0}^K a_k Z\left\{ y[n-k]\right\} = \sum_{l=0}^L b_l Z \left\{x[n-l]\right\}$$

$$\sum_{k=0}^K a_k z^{-k} Y(z) = \sum_{l=0}^L b_l z^{-l} X(z)$$

$$Y(z) \sum_{k=0}^K a_k z^{-k} = X(z) \sum_{l=0}^L b_l z^{-l}$$

$$\frac{Y(z)}{X(z)} \equiv H(z) = \frac{\sum_{l=0}^L b_l z^{-l}}{\sum_{k=0}^K a_k z^{-k}}$$ (2.33)

lub

$$H(z) = \mathrm{const} \frac {\prod_{l=0}^L \left(1-\frac{d_l}{z}\right) } {\prod_{k=0}^K \left(1-\frac{c_k}{z}\right) }$$ (2.34)

$H(z)$ -- funkcja systemu (system function).