Twierdzenie o próbkowaniu

Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy postawić decydując się na pracę z dyskretnymi (próbkowanymi) wersjami sygnałów ciągłych z natury.

Twierdzenie 5 (Twierdzenie o Próbkowaniu)   Sygnał ciągły $s(t)$ możemy odtworzyć z wektora jego wartości w dyskretnych chwilach czasu $n \Delta t$, jeśli nie było w nim częstości wyższych niż $\frac{1}{2\, \Delta t}$.

Proof. [Dowód]

Dla uproszczenia przyjmijmy $\Delta t = 1$. Wtedy $\hat{s}(f)$, czyli transformata Fouriera sygnału $s(t)$, będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy $-\frac{1}{2}$ a $\frac{1}{2}$. Oznaczmy $u(f)$ funkcję o okresie $1$, tożsamą z $\hat{s}(f)$ na przedziale $\left [ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ]$.

Przedstawia ją szereg Fouriera (2.5):

$$u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{2 \pi i f n}$$

Współczynniki $c_n$ tego rozwinięcia dane są wzorem (2.6):

$$c_{n} = \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i n f}} d f = \int_{- \frac{1... ...n f}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f = s(-n)$$

Współczynniki $c_n$, dane przez wartości sygnału $s$ w punktach próbkowania, jednoznacznie określają funkcję $u(f)$, ta z kolei zawiera w sobie $\hat{s}(f)$ - transformatę Fouriera ciągłego sygnału $s(t)$, czyli określa jednoznacznie również sam sygnał. $\qedsymbol$

Znajdźmy explicite formułę rekonstrukcji:

$$s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f =... ...t ( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2\pi i f n} \right )e^{-2\pi i f t} df$$

$$= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} s(... ...nfty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df$$

ponieważ

$$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df = \left... ...f=-\frac{1}{2}}^{f=\frac{1}{2}} =\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)}$$

dostajemy

$$s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} } \frac{\sin\left(\pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)}$$ (2.31)

Tak więc, jeśli spełnione jest główne założenie o ograniczonym paśmie sygnału ciągłego i odpowiednio dobranej częstości próbkowania, w procesie próbkowania nie tracimy informacji ani też nie wprowadzamy przekłamań, obliczając widmo (rozdział 2.5).

W praktyce przed próbkowaniem sygnał jest zwykle filtrowany dolnoprzepustowym filtrem analogowym o częstości odcięcia poniżej częstości Nyquista.