Przestrzeń wektorowa

Przestrzenią wektorową (ew. przestrzenią liniową) nad ciałem $K$ zwiemy taką strukturę algebraiczną $\left( V,+,K,+,\ast,\star\right)$, że $\left(V,+\right)$ jest grupą abelową, $\left(K,+,\ast\right)$ jest ciałem, a działanie $\star$: $K\times V\ni(\alpha,v) \rightarrow \alpha\star v \in V$ spełnia warunki:

1. $\alpha\star(v+w)=\alpha\star v + \alpha\star w$
2. $(\alpha+\beta)\star v=\alpha\star v + \beta\star v$
3. $\alpha\star(\beta\star v)=(\alpha\ast\beta)\star v$
4. jeśli elementem neutralnym grupy $K$ jest $1$, to $1\star v = v$

Przykład: $V=\mathbb{R}^3, K=\mathbb{R}$:

$$\forall_{x,y\in \mathbb{R}^3} \;\; x+y=(x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3)$$

$$\forall_{\alpha\in \mathbb{R}, x\in \mathbb{R}^3}\;\; \alpha\star x = (\alpha\ast x_1, \alpha\ast x_2, \alpha\ast x_3 )$$