Wyrazy mieszane (cross-terms)

Problem ten występuje (z różnym natężeniem) we wszystkich kwadratowych reprezentacjach energii sygnału w przestrzeni czas-częstość; w transformacie Wignera efekt ten jest najbardziej bezpośredni.

Przypomnijmy wzór na kwadrat sumy: $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$. Obliczając kwadratową transformatę sygnału złożonego z sumy elementów $a$ i $b$, dostaniemy reprezentację występujących w sygnale składników $a$ i $b$ oraz wyraz mieszany $2ab$, który może pojawić się w takim rejonie przestrzeni czas-częstość, że w odpowiadającym mu przedziale czasu w sygnale brak jakiejkolwiek aktywności.

Rysunek: Sygnał złożony z dwóch sinusów o różnych częstościach (dolny wykres) i moduł jego transformaty Wignera przedstawiony w przestrzeni czas-częstość w odcieniach szarości (powyżej, oś częstości skierowana ku górze). Obserwujemy prawidłowe odtworzenie częstości w okolicy występowania sinusów oraz wyraz mieszany (w środku), występujący w odcinku czasu w którym sygnał jest płaski. Wartości transformaty Wignera w rejonie tej struktury oscylują, co umożliwia zachowanie wartości brzegowych całek po czasie i częstości.

czas $\rightarrow$

Jednym z głównych zastosowań rozkładów gęstości energii sygnału w przestrzeni czas-częstość (jak ten na rys. 3.2) jest próba odgadnięcia struktury lub własności nieznanego sygnału. W takim przypadku wyrazy mieszane są wysoce mylące -- na podstawie samego rozkładu energii z rys. 3.2 moglibyśmy podejrzewać, że w analizowanym sygnale, pomiędzy a i b, znajduje się jeszcze jedna struktura o pośredniej częstości!

Dla zminimalizowania tego efektu możemy wykorzystać spostrzeżenie, że wyrazy mieszane zwykle silnie oscylują, więc lokalne uśrednienie rozkładu (po czasie i częstości) powinno zmniejszyć ich wkład. Różne realizacje tego uśredniania tworzą bogatą klasę rozkładów o zredukowanych interferencjach (ang. reduced interference distributions, RID), z których każdy może dawać lepsze od innych rezultaty dla pewnej klasy sygnałów. Jednak w każdym przypadku mamy do czynienia z ogólną prawidłowością: im mniejszy wpływ interferencji (silniejsze uśrednianie) tym gorsza rozdzielczość.