Korelacja i splot

Korelacja jest miarą podobieństwa lub wzajemnej zależności. Jeśli mówimy, że występuje korelacja między wydajnością i ceną komputerów, to mamy na myśli stwierdzenie, że droższe komputery mają zwykle większą moc obliczeniową -- im mniej przypadków przeciwnych, tym korelacja silniejsza. Silna korelacja sygnałów $x$ i $y$ oznacza, że wzrostowi $x$ towarzyszy najczęściej wzrost $y$ $\left( x_\nearrow\; \leadsto y_\nearrow \right)$. Jeśli przeważa sytuacja odwrotna $\left( x_\nearrow\; \leadsto y_\searrow \right)$ mówimy o korelacji ujemnej.

Miarą współzmienności (kowariancji) dwóch sygnałów jest ich iloczyn. Przed obliczeniem tego iloczynu (w ogólnym przypadku mówimy o jego wartości oczekiwanej) od każdego z sygnałów warto odjąć wartość średnią:

$$\sigma_{x y}=\int \left(x(t)-\bar{x}\right)\left(y(t)-\bar{y}\right) dt$$ (2.21)

Dzięki temu w przypadku, gdy sygnały są od siebie niezależne, $\sigma_{x y}$ będzie bliska zeru -- uniezależnia to miarę kowariancji od wartości średnich sygnałów. Aby otrzymać wartości z przedziału $[ -1, 1 ]$ wprowadzamy jako czynnik normalizacyjny wariancję sygnału:

$$\sigma^2_s=\int\left( s(t)-\bar{s}\right)^2 dt$$ (2.22)

Znormalizowaną w ten sposób kowariancję zwiemy korelacją:

$$\mathrm{korelacja}_{x y} = \frac{\sigma_{x y}}{\sqrt{\sigma^2_x\sigma^2_y}}$$ (2.23)

Może się zdarzyć, że dwa sygnały są bardzo podobne, tylko przesunięte względem siebie w czasie. W wykryciu takiej sytuacji pomaga funkcja korelacji wzajemnej, czyli korelacja dwóch sygnałów w funkcji ich wzajemnego przesunięcia. Z kolei autokorelacja to miara korelacji sygnału $s(t)$ z jego kopią przesuniętą o $\tau$. Pomijając normalizację i odejmowanie średnich otrzymamy

$$\sigma_{s, s}(\tau)=\int s(t) s(t+\tau) dt$$ (2.24)

Rysunek: Od góry: sygnał $s(t)$, ten sam sygnał przesunięty w czasie o $\tau$, i jego funkcja autokorelacji.

$s(t)$:
$s(t+\tau)$: $\overrightarrow{\ \tau \ \ }$
$\sigma_{s, s}(\tau)$:

Funkcja autokorelacji będzie miała oczywiście maksimum w zerze, a istnienie innych maksimów związane jest z występowaniem w sygnale okresowo powtarzających się zjawisk. Twierdzenie Wienera-Chinczyna mówi wręcz, że widmo mocy obliczać możemy jako transformatę Fouriera funkcji autokorelacji.

$$\begin{array}{rl} \mathrm{corr}\left(x(t),y(t)\right) = \dfra... ... {\sqrt{\sum_j (x_j-\mu_x)^2 \sum_k (y_k-\mu_y)^2}} \end{array}$$ (2.25)

Rozważmy transformatę Fouriera funkcji korelacji sygnałów $f$ i $g$, dla uproszczenia pomijając normalizację:

$$s(\tau)=\int f(t) g(t+\tau) dt$$ (2.26)

$$\begin{array}{rll} \displaystyle \hat{s}(\omega)&= \displayst... ...t) dt &= \hat{f}(\omega) \overline{\hat{g}(\omega)} \end{array}$$ (2.27)

Jak widać, operator korelacji odpowiada w przestrzeni transformat Fouriera iloczynowi transformaty jednego sygnału ze sprzężeniem zespolonym transformaty drugiego.

Twierdzenie 3 (Twierdzenie o splocie)  

$$s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(u) g(t-u) du \;\; \Longrightarrow \;\;\; \hat{s}(\omega) = \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)$$ (2.28)

...czyli splot w przestrzeni czasu odpowiada iloczynowi w przestrzeni transformat Fouriera.

Jest to wynik wygodniejszy od wzoru (2.27), stąd filtrowanie realizowane jest właśnie z pomocą splotu, który jak widać z równania (2.28) jest korelacją z sygnałem o odwróconym kierunku czasu.

Proof. [Dowód]

$$\hat{s}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} s(t) d t = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} f(u) g(t-u) \,d u \,d t =$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega u} f(u) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega (t-u)}g(t-u) dt \right) du =$$

$$\left \Vert \begin{array}{l} \textrm{całka w nawiasie przebiega o... ...\textrm{więc możemy zamienić } (t-u) \textrm{ na } t\; \end{array} \right \Vert$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega u} f(u) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{i \omega t}g(t) dt \right) du = \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)$$

$\qedsymbol$

Twierdzenie 4 (Wienera-Chinczyna)  

transformata Fouriera funkcji autokorelacji jest równa kwadratowi modułu transformaty Fouriera.

Proof. [Dowód] Kładąc $f = g$ we wzorze (2.27), dostajemy

$$\begin{array}{r@{\;}c@{\;}l} \displaystyle \mathcal{F} \left(... ...ne{\hat{f}(\omega)}& = &\vert\hat{f}(\omega)\vert^2 \end{array}$$ (2.29)

$\qedsymbol$

Rysunek 2.3: Iloczyn i korelacja dyskretnych sekwencji $x$ i $y$...