Tematy egzaminacyjne z przedmiotu Matematyka II

w semestrze letnim 2016/2017

      Zestaw 1
            Podaj definicję liniowej niezależności.
            Podaj deficję równoległości k-płaszczyzny do l-płaszczyzny
            Udowodnij twierdzenie o wzorze Taylora dla funkcji wielu zmiennych. (pdf)

      Zestaw 2
            Podaj definicję odwzorowania liniowego i wieloliniowego.
            Podaj warunek konieczny oraz znany Ci warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji klasy C².
            Udowodnij twierdzenie Banacha o punkcie stałym. (html)

      Zestaw 3
            Podaj definicję pochodnej funkcji wielu zmiennych. Wyraź pochodną przez pochodne cząstkowe.
            Wyprowadź wzór na promień zbieżności szeregu potęgowego.
            Udowodnij twierdzenie Cayleya-Hamiltona (html)

      Zestaw 4
            Podaj definicję iloczynu skalarnego nad C i nad R. Zdefiniuj ortogonalność wektorów.
            Wyraź przy pomocy formy biliniowej symetrycznej odpowiadającą jej formę kwadratową i odwrotnie. Sformułuj twierdzenie o bezwładności form kwadratowych Sylvestera.
            Udowodnij twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności układu równań różniczkowych rzędu pierwszego. (pdf)

      Zestaw 5
            Omów zasadę superpozycji dla równań różniczkowych liniowych. Jakie równanie pierwszego rzędu spełnia wrońskian (udowodnij ten fakt). (pdf)
            Przedstaw metodę Lagrange'a diagonalizacji formy kwadratowej. Podaj definicję sygnatury formy kwadratowej.
            Udowodnij kryterium Cauchyego o zagęszczaniu zbieżności szeregu. (pdf)

      Zestaw 6
            Co to znaczy, że w przestrzeni wektorowej zadano iloczyn skalarny?
            Sformułuj twierdzenie o funkcji uwikłanej. Wyraź pierwsze i drugie pochodne cząstkowe funkcji z(x,y) zadanej w sposób uwikłany przez F(x,y,z)=0.
            Pokaż, że iloczyn macierzowy i-tego wiersza macierzy dołączonej do macierzy przez jej i-tą kolumnę jest wyznacznikiem tej macierzy. (pdf)

      Zestaw 7
            Omów czym jest forma objętości na n-wymiarowej przestrzeni wektorowej. Zdefiniuj przy pomocy formy objętości wyznacznik macierzy.
            Podaj definicję wektora i wartości własnej macierzy. Uzasadnij procedurę diagonalizacji macierzy operatora liniowego.
            Wyprowadź znany Ci warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego funkcji F(x,y,z) na podzbiorze R³ zadanym przez G(x,y,z)=0. Podaj warunek dostateczny istnienia ekstremum.