Tematy egzaminacyjne przedmiotu Matematyka II

w semestrze letnim 2013

• Podaj definicję szeregu o wyrazach a_n. Kiedy szereg nazywamy zbieżnym. Sformułuj i udowodnij kryterium Cauchy'ego dla ciągów liczbowych. Omów konsekwencję tego kryterium dla szeregów potęgowych tzn. zdefiniuj promień zbieżności szeregu.
• Omów czym jest forma objętości na n-wymiarowej przestrzeni wektorowej. Zdefiniuj przy pomocy formy objętości wyznacznik macierzy. Udowodnij, że det (AB)= det A det B.
• Wyraź przy pomocy formy biliniowej symetrycznej odpowiadającą jej formę kwadratową i odwrotnie. Sformułuj twierdzenie o bezwładności form kwadratowych Sylvestera. Kiedy forma kwadratowa (biliniowa symetryczna) jest zdegenerowana, kiedy dodatnio określona, zdefiniuj sygnaturę formy. Podaj definicję iloczynu skalarnego nad C i nad R.
• Podaj definicje, pochodnej funkcji wielu zmiennych (nie obejdzie sie bez rozmowy o odwzorowaniach liniowych!), pochodnej kierunkowej i pochodnej cząstkowej. Dla funkcji klasy C¹ wyraź pochodną i pochodną kierunkową przez pochodne cząstkowe (dowód).
• Udowodnij wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych. Podaj warunek konieczny oraz znany Ci warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji klasy C².
• Udowodnij twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej (dla funkcji wielu zmiennych). Sformułuj twierdzenie o funkcji uwikłanej. Wyraź pierwsze i drugie pochodne cząstkowe funkcji z(x,y) zadanej w sposób uwikłany przez F(x,y,z)=0.
• Podaj definicję macierzy dołączonej. Wyraź macierz odwrotną przez jej wyznacznik i macierz dołączoną. Udowodnij twierdzenie Cayleya-Hamiltona i omów jego zastosowanie w rozwiązywaniu układów równań różniczkowych liniowych.
• Omów zasadę superpozycji dla równań różniczkowych liniowych. W szczególności omów kryterium liniowej niezależności rozwiązań (wrońskian). Podaj konstrukcję rozwiązania ogólnego tych równań. Jakie równanie pierwszego rzędu spełnia wrońskian (udowodnij ten fakt). Zdefiniuj macierz fundamentalną układu równań liniowych pierwszego rzędu.
• Udowodnij twierdzenie Bancha o punkcie stałym. Sformułuj twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania układu równań liniowych pierwszego rzędu. Jakiej przestrzeni metrycznej i jakiego odwzorowania zwężającego używamy w dowodzie tego twierdzenia?