Tematy egzaminacyjne z przedmiotu Matematyka I

w semestrze zimowym 2016/2017

      Zestaw 1a
            Sformułuj i udowodnij twierdzenie Pitagorasa.
            Sformułuj twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów.
            Podaj i udowodnij wzór wyrażający sinus sumy kątów przez sinusy i cosinusy obu kątów.
            Podaj definicję granicy funkcji w punkcie. Ile wynosi granica (sin x)/x w zerze?
            Podaj definicję pochodnej i oblicz z definicji pochodną sin x.

      Zestaw 1b
            Sformułuj i udowodnij twierdzenie Pitagorasa.
            Sformułuj i udowodnij twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów.
            Podaj wzór wyrażający sinus sumy kątów przez sinusy i cosinusy obu kątów.
            Podaj definicję granicy funkcji w punkcie. Ile wynosi granica (sin x)/x w zerze?
            Podaj definicję pochodnej i oblicz z definicji pochodną sin x.

      Zestaw 1c
            Sformułuj i udowodnij twierdzenie Pitagorasa.
            Sformułuj twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów.
            Podaj wzór wyrażający sinus sumy kątów przez sinusy i cosinusy obu kątów.
            Podaj definicję granicy funkcji w punkcie. Ile wynosi granica (sin x)/x w zerze? Udowodnij ten fakt bez odwoływania się do pojęcia pochodnej.
            Podaj definicję pochodnej i oblicz z definicji pochodną sin x.

      Zestaw 2a
            Udowodnij nierówność Bernoulliego.
            Podaj definicję granicy ciągu.
            Pokaż, że ciąg (1+1/n)ⁿ jest rosnący i ograniczony z góry
            Podaj definicję granicy funkcji w punkcie. Ile wynosi granica (e^x-1)/x w zerze?
            Podaj definicję pochodnej i oblicz z definicji pochodną e^x.

      Zestaw 2b
            Udowodnij nierówność Bernoulliego.
            Podaj definicję granicy ciągu. Ile wynosi granica ciągu (1+7/n)ⁿ?
            Podaj definicję granicy funkcji w punkcie. Ile wynosi granica (e^x-1)/x w zerze? Udowodnij ten fakt bez odwoływania się do pojęcia pochodnej.
            Podaj definicję pochodnej i oblicz z definicji pochodną e^x.

      Zestaw 3a
            Udowododnij wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
            Podaj wzory aⁿ-bⁿ, (a+b)ⁿ.
            Udowodnij drugi z powyższych wzorów (rozwinęcie dwumianu newtona).
            Podaj definicję pochodnej i oblicz z definicji pochodną x⁷.

      Zestaw 3a
            Udowododnij wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
            Podaj wzory aⁿ-bⁿ, (a+b)ⁿ. Udowodnij pierwszy z powyższych wzorów.
            Podaj definicję pochodnej. Udowodnij wzór Leibniza (o pochodnej iloczynu funkcji).
            Oblicz z definicji pochodną x^1/7 dla x>0

      Zestaw 4
            Oblicz n-tą pochodną funkcji e^x, sin x, (1+x)^1/7
            Sformułuj twierdzenie Rolle'a.
            Udowodnij twierdzenie Lagrange'a.
            Podaj wzór Taylora z resztą Lagrange'a. Zapisz ten wzór dla funkcji, których n-te pochodne obliczyłeś.
            Udowodnij wzór Taylora z wybraną przez siebie resztą.

      Zestaw 5
            Udowododnij wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.             Sformułuj twierdzenie Rolle'a.
            Udowodnij twierdzenie Cauchy'ego (o wartości średniej).
            Podaj wzór Taylora z resztą Lagrange'a.             Sformułuj i udowodnij regułę de l'Hospitala typu 0/0 dla granicy w punkcie x=7.

      Zestaw 6
            Sformułuj i udowodnij twierdzenie Pitagorasa.
            Sformułuj twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów.
            Podaj i udowodnij wzór wyrażający sinus sumy kątów przez sinusy i cosinusy obu kątów.
            Udowodnij wzór de Moivre'a
            Podaj lub wyprowadź wzór na pierwiastek algebraiczny z liczby zespolonej.

      Zestaw 7
            Sformułuj i udowodnij twierdzenie Pitagorasa.
            Sformułuj twierdzenie Rolle'a
            Udowodnij, że funkcje pierwotne funkcji ciągłej na przedziale domkniętym różnią się o stałą.
            Podaj definicję całki Riemanna.
            Udowodnij podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego.