|
|
Matematyka I Tematy egzaminacyjne Zestaw IA) Sformułuj twierdzenie Rolle'a B) Sformułuj i udowodnij twierdzenie Cauchy'ego (lub twierdzenie Lagrange'a) a wartości pośredniej C) Przedstaw wzór Taylora z resztą Lagrange'a (lub resztą Cauchy'ego) D) Udowodnij wzór Taylora z resztą Lagrange'a (lub resztą Cauchy'ego) Zestaw II A) Podaj definicję pochodnej B) Udowodnij wzór na cosinus sumy kątów C) Uzasadnij, że dla x ∈ [0, π/2]: cos x < (sin x)/x < 1 / cos x D) Oblicz z definicji pochodną funcji sin x Zestaw III A) Podaj definicję granicy ciągu B) Uzasadnij, że ciąg (1+1/n)n ma granicę (jaką) C) Uzasadnij nierówności 1 + x < ex < 1/(1-x) (dla jakich x obowiązuja te nierówności) D) Podaj definicje ciągłości funkcji i udowodnij, że funkcja ex jest funkcją ciągłą. Zestaw IV A) Podaj definicję funkcji pierwotnej B) Udowodnij, że funkcje pierwotne funkcj zadanej na przedziale różnią sie o stałą C) Podaj definicję całki Riemanna D) Sformułuj i udowodnij podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego Zestaw V A) Wyprowadź wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego o współczynnikach zespolonych B) Wyprowadź wzór na pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej C) Podaj i udowodnij wzór de Moivre'a D) Sformułuj i udowodnij (dowód jedynie w przypadku funkcji wymiernych nad ciałem liczb zespolonych) twierdzenie o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste. |