Tematy egzaminacyjne na egzamin ustny z przedmiotu Algebra z geometrią II

w semestrze letnim 2019/2020

• Podaj definicję formy objętości, podaj definicję wyznacznika.
• Podaj definicję iloczynu skalarnego, długości wektora i kąta między wektorami.
• Omów pojęcia wektor własny, wartości własne wielomian charakterystyczny endomorfizmu.
• Wyprowadź wzór polaryzacyjny dla formy dwuliniowej symetrycznej.
• Udowodnij twierdzenie Lagrange'a o diagonalizowalności form kwadratowych.
• Pokaż, że dwa wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.

• Wykaż, że det A * det B=det (AB)
• Udowodnij twiredzenie Sylvestera o bezwładności form kwadratowych.
• Omów procedurę ortonormalizacji Grama-Schmidta.
• Udowodnij związek między wyznacznikiem macierzy Grama a objętością równoległościanu.
• Omów pojęcie diagonalizowalności (macierzy) endomorfizmu. Podaj i udowodnij użyteczne twierdzenia pozwalające stwierdzić czy dany operator jest diagonalizowalny. Wyjaśnij czym jest rozkład spektralny operatora diagonalizowalnego.
• Wykaż, że wielomiany charkterystyczne macierzy podobnych są sobie równe. Udowodnij, że ślad i wyznacznik macierzy są niezmiennikami transformacji podobieństwa.
• Podaj definicję dopełnienia ortogonalnego. Podaj definicję rzutu ortogonalnego. Sformułuj i udowodnij twierdzenie o rzucie ortogonalnym.
• Pokaż, że wektory własne operatora normalnego odpowiadające różnym wartościom własnym są do siebie prostopadłe.
• Podaj definicję odległość między podprzestrzeniami przetrzeni euklidesowej. Sformułuj i udowodnij twierdzenie wiążące tę odległość z rzutem na dopełnienie ortogonalne sumy algebraicznej podprzestrzeni wektorowych rozpinających te podprzestrzenie.

• Podaj wzór wiążący macierz dołączoną i wyznacznik danej macierzy z macierzą odwrotną tej macierzy. Wyprowadź ten wzór.
• Udowodnij, że kryterium wyznacznikowe Sylvestera jest prawdziwe.
• Sformułuj i udowodnij twierdzenie Cayleya-Hamiltona.
• Sformułuj i udowodnij twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych.