Przestrzeń Banacha

Mówimy, że ciąg $\{x_n\}$ spełnia warunek Cauchy'ego, jeśli $\Vert x_n-x_{n-1}\Vert\rightarrow 0$ gdy $n\rightarrow\infty$.

Zbieżność ciągu $\{x_n\}$ do $x_{\infty}$ oznacza, że $\exists_{x_{\infty}} \; \Vert x_n-x_{\infty}\Vert \rightarrow 0$ gdy $n\rightarrow\infty$.

Przestrzeń wektorową, w której każdy ciąg spełniający warunek Cauchy'ego jest zbieżny (zupełność według normy $\Vert\cdot\Vert$), nazywamy przestrzenią Banacha.