Fale de Broglie’a – Bohma w nanoelektronice

 

 

Janina Marciak-Kozłowska

Mirosław Kozłowski

 

Instytut Technologii Elektronowej, Al. Lotników 32/46, 02-668 Warszawa

 

 

 

Streszczenie

W opracowaniu przedstawiono perspektywy wykorzystania fal materii (fal de Broglie’a) w nanoelektronice. Wskazano na możliwości wykorzystania fal materii w elementach elektronicznych ze szczególnym uwzględnieniem „kwantowych stadionów” (quantum stadium, corrals). Opracowanie jest rozszerzoną wersją projektu badawczego: „Fizyczne podstawy dynamiki fal materii w nanostrukturach” złożonego do KBN w 2004 r.

Słowa kluczowe:

Fale materii, kwantowe stadiony, impedancja i rezystancja fal materii.


Spis treści

1... Wstęp. 5

2... Podstawowe własności nanostruktur 7

3... Technologiczne aspekty fal de Broglie’a. 12

4... Impedancja fal materii 13

5... Literatura cytowana. 15

Uzupełnienie A. 16

Równoważność jednocząstkowych stacjonarnych fal de Broglie’a i fal świetlnych. 16

Uzupełnienie B.. 17

Porównanie własności fal de Broglie’a – Bohma i fal elektromagnetycznych. 17

Uzupełnienie C.. 18

Siły, moc, impedancja w ruchu harmonicznym (struna) 18


 


 

 

De Broglie-Bohm waves in nanoelectronics

 

 

 

Abstract

In recent years, the advances in scanning tunneling microscopy (STM) made possible the manipulation of single atoms on top of a surface and the construction of quantum structure of arbitrary shape. In particular, stadium type quantum corrals have been assembled by depositing a close line of atoms on Cu or noble metal. In this paper the quantum structure of the atomic corrals is discussed. The operation of quantum corrals was described as being similar to light waves.

Key words: Matter waves; Quantum stadium; Quantum corral; impedance; conductance.

 


 Contents

1.      Introduction............................................................................................................................ 5

2.      The operation of nanostructures............................................................................................... 7

3.      Technology of the matter (de Broglie-Bohm waves)............................................................... 12

4.      Impedance of the matter waves............................................................................................. 13

5.      Reference............................................................................................................................. 15

Appendix A................................................................................................................................ 16

Comparison of matter and light waves

Appendix B................................................................................................................................ 17

Comparison of de Broglie and electromagnetic waves

Appendix C................................................................................................................................ 18

Forces, power and impedance of the harmonic motion


1.   Wstęp

Od kilku lat badane są możliwości przekazywania informacji na poziomie atomowym za pomocą struktur elektronowych – „stadionów kwantowych” (quantum stadium, corrals). Chodzi tu o prace prowadzone przede wszystkim w Almaden Research Center (IBM) pod kierunkiem D. M. Eiglera*. Struktury typu quantum studium (quantum corrals) są wspaniałym wspólnym rezultatem technologii i badań podstawowych. Powstają one, atom po atomie (zwykle 30–80 atomów) umieszczonych za pomocą STM (scanning tunneling) na powierzchni metalu. Zwykle mają one kształt elipsy o dużej osi rzędu 10 nm. Własności struktur bada się za pomocą STM. Uzyskany obraz w STM odpowiada stojącym falom elektronów de Broglie’a – Bohma. W pracach grupy D. M. Eiglera wykazano możliwość przekazywania informacji w gazie elektronowym zamkniętym w „kwantowym stadionie” (quantum stadium, corrals). Umieszczając dodatkowy atom w jednym z ognisk elipsy uzyskuje się jego obraz – miraż (quantum mirage) w drugim ognisku elipsy. Rozwój technologii uzyskiwania kwantowych miraży stanowi podstawę poszukiwań nowych elementów elektronicznych w skali atomowej.

Nośnikiem informacji w „kwantowych stadionach” są fale materii – fale de Broglie’a.

Fale materii – fale de Broglie’a-Bohma stanowią jedną z realizacji potencjalności cząstek materialnych: elektronów, nukleonów, jąder atomowych i cząsteczek. W ortodoksyjnej (kopenhaskiej) interpretacji mechaniki kwantowej wynik pomiaru wybranej własności cząsteczki, na przykład jej położenia, traktuje się jako rezultat uśrednienia po ensamblu pomiarów.

W związku z rozwojem technologii elektronowej, a w szczególności nanotechnologii, podejście probabilistyczne (interpretacja kopenhaska) musi zostać poddane rewizji. W nanotechnologii mamy do czynienia ze strukturami jednocząsteczkowymi, lub ostatnio jednoatomowymi, w których możemy dokonać pomiaru własności elektrycznych oraz cieplnych nanostruktur.

Nanostruktury stanowią front badań w dziedzinie technologii i fizyki ciała stałego. Rozmiary nanostruktur są większe od rozmiarów molekuł i mniejsze od mikrostruktur używanych w standardowej technologii elektronowej. Ponieważ nanostruktury zawierają zwykle kilkanaście do kilkudziesięciu atomów, stanowią naturalny przedmiot badania i rozwoju inżynierii atomowej. Własności nanostruktur z jednej strony odpowiadają dużym obiektom kwantowym a z drugiej, ze względu na bardzo małe rozmiary nanostruktur (), różnią się istotnie od własności struktur mikroskopowych ().

Mikrostruktury, choć bardzo małe w porównaniu ze strukturami makroskopowymi, można budować i badać za pomocą metod technologii makroskopowej opartej na fizyce klasycznej. Natomiast technologia nanostruktur oparta jest na fizyce kwantowej. Stąd nanostruktury są nowym stanem materii o wyjątkowym znaczeniu dla przyszłego rozwoju technologii i nauki.

Ze względu na bardzo małe rozmiary, nanostruktury mogą być bardzo gęsto upakowane w elementach elektronicznych. Dzięki temu, można spodziewać się znacznego zwiększenia szybkości transferu informacji w elementach elektronicznych i większej pamięci tych elementów.

Na początku trzeciego tysiąclecia możemy mówić o powstaniu nowej dyscypliny naukowej – nanoscience, która łączy w sobie metody badawcze fizyki, chemii, biologii i elektroniki. W dziedzinie fizyki i chemii nanoscience prowadzi do rozwoju metod badawczych dotyczących np. szybkości reakcji chemicznych przebiegających na poziomie atomowym i molekularnym (prace A. Zewail [1]). W biologii molekularnej nanostruktury stanowią podstawowe składniki komórek. W tej dziedzinie szczególnie interesujące są wyniki Hameroffa i R. Penrose’a [2] dotyczące nanotubul – składników neuronów. W nanoelektronice badane są własności elektryczne wybranych molekuł jako przyszłych elementów elektronicznych.

2.   Podstawowe własności nanostruktur

Pojedyncza nanostruktura wyróżnia się własnościami, które możemy podzielić na dwie grupy. Do pierwszej grupy zaliczamy zależność własności nanostruktury od jej geometrycznych rozmiarów. Kolor „złotej” nanostruktury zawierającej kilkadziesiąt atomów złota Au zmienia się w zależności od liczby atomów. Do drugiej grupy należą własności nanostruktur związane z obecnością defektów i jakością powierzchni nanostruktur. Przy tym jakość powierzchni nanostruktury i jej wpływ na własności fizyczne nanostruktury jest znacznie większy niż ma to miejsce w przypadku makrostruktur.

Układy nanostruktur – assemblery wykazują własności, które w istotny sposób zależą od natury oddziaływania między poszczególnymi nanostrukturami. Oddziaływania elektromagnetyczne między nanostrukturami, tunelowanie, zjawiska transportu wewnątrz assemblera wpływają na własności elementów elektronicznych.

W dziedzinie budowy układów elektronicznych zawierających nanostruktury szczególną rolę odgrywa elektronika molekularna. Duże nadzieje wiążemy z cząsteczkami organicznymi jako przyszłymi układami elektronicznymi. Własności elektryczne układów metal – cząsteczka organiczna – metal, a w szczególności ich charakterystyki IV wskazują na możliwości konstruowania powtarzalnych stabilnych nanostruktur jako przyszłych elementów elektronicznych w zakresie napięć – 0.1 V ® 1 V. Dla napięć większych 1.2 V złącze metal – cząsteczka organiczna – metal traci stabilność [3].

Na rys. 1 przedstawiono piramidę złożoną z atomów germanu na podłożu krzemowym. Rozmiary piramidy: długość podstawy 10 nm i wysokość 1.5 nm. Powstanie piramidy – assemblera germanowego jest procesem spontanicznym. W kilka sekund po nałożeniu atomów germanu na podłożu krzemowym oddziaływanie między atomami germanu spontanicznie kreuje piramidę. Powstanie piramidy stanowi przykład przyszłych technologii elektronowych, w których wybrane struktury będą powstawały spontanicznie w milionach egzemplarzy jednocześnie.

Rys. 1: Piramida złożona z atomów germanu na podłożu krzemowym
(Hewlett-Packard, Science Report, 1999)

Na rys. 2 przedstawiono obraz z STM tak zwanego „kwantowego stadionu”. Stadion powstał w wyniku nałożenia 48 atomów żelaza na podłożu z czystej miedzi. Atomy żelaza rozmieszczono za pomocą ostrza mikroskopu tunelowego. Na powierzchni miedzi znajdują się swobodne elektrony tworzące dwuwymiarowy gaz elektronowy. Atomy „stadionu” ograniczają ruch elektronów. Oddziaływanie elektronów ze ścianą stadionu jest zjawiskiem kwantowym. W obrazie kwantowym z każdym elektronem związana jest fala de Broglie’a o długości , gdzie  jest stałą Plancka, a p oznacza pęd elektronu. Interferencja fal elektronowych prowadzi do powstania periodycznej struktury określającej prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w wybranym położeniu.

Rys. 2: Stadion (quantum stadium, corral) zbudowany z atomów żelaza na podłożu miedziowym. Widoczna struktura interferencyjna fal elektronowych (Surface Rev. Lett. 3 (1995) p. 127)

Dzięki zastosowaniu STM z przewodzącym ostrzem można badać elektronową strukturę powierzchni materiałów elektronicznych. W pracy [4] uzyskano mikroskopowy obraz (STM) powierzchni Cu na której umieszczono 30 atomów Co. Atomy utworzyły elipsę o rozmiarach: duża oś = 7.1 nm, mimośród e = 0.5. Po umieszczeniu dodatkowego atomu Co w ognisku elipsy (rys. 3) uzyskano kwantowy miraż atomu Co w drugim ognisku elipsy. Stwarza to nowe możliwości spektroskopii atomowej „na odległość” (spectroscopy at a distance). Występowanie miraży kwantowych pozwoli w przyszłości przekazywać informacje o stanach elektronów za pomocą fal elektronowych.

Rys. 3: Miraż kwantowy (rezonator eliptyczny), N.C. Manoharan et al., Nature 403 (2000) p. 512.

 


Rys. 4. Miraż kwantowy. Wewnątrz stadionu z 30 atomów Co umieszczono dodatkowy atom Co w ognisku stadionu – elipsy. Rozmiary elipsy: duża oś = 7.13 nm, mimośród e = 0.786 (N.C. Manoharan et al., Nature 403, (2000) p. 512)

d)

 

b)

 

c)

 

a)

 

Rys. 5. Miraż kwantowy. (5a) Dodatkowy atom Co umieszczony w ognisku elipsy a = 7.1 Å, e=0.786; (5b) Dobrze widoczny obraz atomu w drugim ognisku; (5c) Dodatkowy atom umieszczony poza ogniskiem elipsy (5d) Brak obrazu atomu. (N.C. Manoharan et al., Nature (2000) p. 512, IBM Research Division, Almaden Research Center, California 95120, USA)

3.   Technologiczne aspekty fal de Broglie’a.

Rozwój nanotechnologii wymaga nowego technologicznego podejścia do kwantowych własności elektronów. Przeniesienie takich podstawowych pojęć technologicznych jak opór elementu elektronicznego, impedancja, rezystancja, na grunt nanostruktur wymaga nowego odczytania własności rozwiązań równania Schödingera – funkcji falowych. Stanowi to dość skomplikowane zagadnienie biorąc choćby po uwagę złożoność klasycznego opisu przepływu energii w ruchu falowym. Rozważmy na przykład impedancję fal Z, poruszających się w próżni (bez rozproszeń). Maxwellowska fala elektromagnetyczna poruszająca się w próżni natrafia na impedancję  [5], gdzie  i  są odpowiednio przenikalnością elektryczną (permittivity) oraz przenikalnością magnetyczną (permeability) próżni.

Z kolei w klasycznym opisie oporu przewodnika zderzenia nośników ładunku, elektronów, z siecią krystaliczną określają wartość przewodnictwa. Przy braku zderzeń przewodnictwo dąży do nieskończoności.

W standardowej mechanice kwantowej każdy układ (atom, cząsteczka) jest reprezentowany przez funkcję falową  [6]. Funkcja falowa  była opisywana jako wielkość zespolona, która przedstawia amplitudę prawdopodobieństwa dla układu i nie jest fizycznie mierzalna. Począwszy od prac H. C. Manoharana i D. M. Eiglera  [4] oraz E. J. Hellera [5] możemy „obserwować” kształt stojących fal elektronowych.

W dziedzinie nanotechnologii kwantowe procesy tunelowania fal materii [6, 7], są praktyczną konsekwencją kwantowych własności elektronowych fal materii. Funkcja falowa swobodnego elektronu  ma postać

                                                                                                                    (1)

Wzór (1) zawiera całą informację o ruchu elektronu i jego energii.

Mechanika kwantowa zawiera nowy, w porównaniu do fizyki klasycznej, obraz materii [6, 7]. Własności składników materii w opisie kwantowym są nie do końca zdefiniowanymi potencjalnościami, których ewolucja zależy od oddziaływania składnika z otoczeniem oraz od samego składnika materii. Rozpatrzmy jako przykład elektron o określonym pędzie , a zatem reprezentowany przez fale de Broglie’a o długości . W oddziaływaniu z siecią krystaliczną metalu elektron zachowuje się jak fala. Ten sam elektron zachowuje się jak cząstka w oddziaływaniu z kliszą fotograficzną, na której ślad elektronu wyznacza jego położenie. W doświadczeniu Younga, oddziaływanie elektronu z dwoma szczelinami, elektron w sposób ciągły przedstawia obie potencjalności – najpierw jako fala oddziałująca z dwoma szczelinami jednocześnie, a następnie zostawiając ślad na kliszy (cząstka). Stąd wniosek, że rodzaj aparatu pomiarowego, z którym elektron oddziałuje determinuje, która potencjalność elektronu pęd albo położenie zostanie zrealizowana. Pełną wiedzę o potencjalnościach elektronu zawiera funkcja falowa  będąca rozwiązaniem równania Schrödingera.

                                                                                                                             (2)

Przy tym, zanim elektron zacznie oddziaływać z detektorem, funkcja falowa  zawiera informacje o prawdopodobieństwie położenia elektronu i o prawdopodobieństwie jego pędu . Ale funkcja falowa nie podaje, która z tych potencjalności zostanie zrealizowana w oddziaływaniu elektronu z aparatem pomiarowym. Dopiero specyfikacja detektora, który może mierzyć albo położenie albo pęd elektronu (ale nie jednocześnie) umożliwia stwierdzenie, która z potencjalności zostanie zaobserwowana.

Na podstawie powyższych rozważań dochodzimy do podstawowego twierdzenia mechaniki kwantowej: własności falowe materii są tak samo realne jak jej własności korpuskularne. W omawianej „zagrodzie” atomowej nie znamy położenia elektronu wewnątrz zagrody, dlatego elektrony demonstrują swoją potencjalność falową: obraz interferencyjny.

4.   Impedancja fal materii

Impedancja i rezystancja fal elektromagnetycznych są podstawowymi parametrami technologicznymi dla makroskopowych układów elektronicznych pracujących w dziedzinie zbierania i przekazu informacji. W nanotechnologii odpowiednikiem fal elektromagnetycznych na poziomie atomowym są fale de Broglie’a. Znajomość parametrów: kwantowej impedancji i rezystancji umożliwi sformułowanie technologicznych metod analizy atomowych układów elektronicznych.

W kwantowym opisie rezystancji i impedancji nanostruktur korzystamy z transformaty Fouriera funkcji falowej:

                                                            .                                                        (3)

Funkcja falowa  opisuje stan kwantowy elektronu o energii  poruszającego się z wektorem falowym . Elektrony o dużej energii , ale składające się na prąd o małym natężeniu wykazują dużą impedancję i vice versa. Występujący we wzorze (2) Hamiltonian H decyduje o wartości impedancji i rezystancji, ponieważ opisuje on ewolucję w czasie układu kwantowego [1].

Ogólny wzór na impedancję kwantową Z zapisujemy w postaci

                                                          .                                                      (4)

We wzorze (4) q jest ładunkiem nośnika prądu,  gęstością prądu, dv – oznacza element objętości a  element powierzchni, przez którą płynie prąd J.

                                                   .                                               (5)

Korzystając z wzorów (2–4) należy: (a) rozwiązać równanie Schrödingera (2), (b) wstawić funkcję falową  do równania (4) i wyznaczyć impedancję oraz konduktancję

Znajomość impedancji Z i konduktancji G pozwala oszacować moc absorbowaną  w nanostrukturze.

                                                                                                                   (6)

W przypadku układu dwóch nanostruktur o impedancjach Z1 i Z2, warunek dopasowania nanostruktur (brak odbitych fal de Broglie’a) ma postać:

                                                                                                                                      (7)

Z kolei, gdy na granicy nanostruktur warunek dopasowania nie jest spełniony

                                                                                                                                      (8)

wówczas

                                                                                                                         (9)

gdzie R oznacza współczynnik odbicia fal de Broglie’a

                                                                                                                           (10)

a T jest współczynnikiem transmisji fal de Broglie’a

                                                                                                                           (11)

Współczynniki R i T określają podstawowe własności transmisyjne nanostruktur na poziomie atomowym.

W uzupełnieniach A, B, C przedstawiono zagadnienia związane z równoważnością własności fal materii i fal elektromagnetycznych. W uzupełnieniu A przedstawiono dyskusję własności jednocząstkowych fal de Broglie’a i fal świetlnych. Oba rodzaje fal: fale de Broglie’a cząstek materialnych  i fotonów  spełniają identyczne równanie falowe – równanie Helmholtza. Należy jednak pamiętać, że dotyczy to tylko układów jednocząstkowych. W przypadku układów wielocząstkowych stacjonarne funkcje Greena dla fal materii i fal fotonów spełniają różne równania falowe [A1]. W uzupełnieniu B przedstawiono podstawowe informacje dotyczące teoretycznego opisu fal materii i fal elektromagnetycznych. W szczególności omówiono takie pojęcia jak amplituda fali, prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w wybranym położeniu oraz prąd prawdopodobieństwa. Uzupełnienie C zawiera dyskusję pojęcia impedancji dla fal elektromagnetycznych (fotonów).

 

5.   Literatura cytowana

    [1]      H. Zewail, J. Phys. Chem. A104, (2000), p. 5660.

    [2]      R. Hameroff and R. Penrose, Journal of Consciousness Studies 3, (1966), p. 36.

    [3]      J. Reichert at al., Phys. Rev. Lett. 88, (2002), p. 176804.

    [4]      N. C. Manoharan et al., Nature, vol. 403, (2000) p. 512.

    [5]      G. A. Fiete, E. J. Heller, http://lanl.arxiv.org/cond-mat/021167 (2003).

    [6]      J. Marciak-Kozłowska, M. Kozłowski, Quantum conductance and diffusion of nanostructures, Lasers in Engineering 6, (1997), p. 1.

    [7]      M. Kozłowski, J. Marciak-Kozłowska, Quantum mechanics for subnanotechnology, NanoWorkshop 2001, CELDIS, Warsaw, September 2001.

    [8]      J. Marciak-Kozłowska, M. Kozłowski, Modified Schrödinger Equation for attosecond laser pulse interaction with matter, Lasers in Engineering 12, (2002), p. 53.

    [9]      J. Marciak-Kozłowska, M. Kozłowski, Schrödinger euqation for nanoscience, http://lanl.arxiv.org/cond.mat/030669 (2003).


Uzupełnienie A.

Równoważność jednocząstkowych stacjonarnych fal de Broglie’a i fal świetlnych

Niestacjonarna funkcja Greena opisuje efekt źródła punktowego umieszczonego w punkcie czasoprzestrzeni  obserwowany w punkcie czasoprzestrzeni . W przypadku światła (fali elektromagnetycznej) jednocząstkowa funkcja Greena ma postać [A.1]

                                            .                                    (A.1)

Dla cząstki kwantowej o masie m funkcję Greena – falę de Broglie’a (dla nierelatywistycznego równania Schrödingera) zapisujemy jako

                                      .                              (A.2)

We wzorach (A.1) i (A.2)  oznacza funkcję delta Diraca i  funkcję Heaviside’a.

Rozważmy z kolei stacjonarne jednocząstkowe funkcje Greena. W tym celu rozpatrujemy źródło, które emituje w chwili  elementarną niestacjonarną falę harmoniczną o częstości , . Detektor umieszczony w punkcie , w chwili t zmierzy superpozycję wszystkich fal wysłanych w chwili  ze źródła :

                                      ,                              (A.3)

gdzie dyspersja fal jest opisana za pomocą wzoru

                                                                                                                            (A.4)

dla światła, oraz

                                                                                                                    (A.5)

dla fali de Broglie’a cząstki o masie m. Identyczna postać stacjonarnej jednocząstkowej funkcji Greena dla fal de Broglie’a i fal świetlnych implikuje pełną równoważność stacjonarnej optyki fal de Broglie’a i fal elektromagnetycznych.

Literatura

[A1] C. Brukner and A. Zeilinger, Phys. Rev. Lett., 79 (1997) p. 2599.

 

Uzupełnienie B

Porównanie własności fal de Broglie’a – Bohma i fal elektromagnetycznych

 

 

Fale de Broglie'a (Elektrony)

Fale elektromagnetyczne

1.

Istnieje skalarna zespolona amplituda  funkcja falowa będąca rozwiązaniem równania Schrödingera.

Istnieje rzeczywista amplituda – funkcja wektorowa, .

2.

Funkcja  pozwala wyznaczyć prawdopodobieństwo położenia elektronu i jego pędu. W granicy klasycznej, gdy nie interesuje nas dokładność większa niż rozmiary pakietu falowego, prawdopodobieństwo staje się bliskie jedności. Otrzymujemy wówczas klasyczny deterministyczny opis ruchu elektronu.

Natężenie fali wyznacza prawdopodobieństwo absorpcji kwantu energii w trakcie oddziaływania promieniowania z materią. W przybliżeniu klasycznym, gdy mamy do czynienia z wielką liczbą kwantów, prawdopodobieństwo jest prawie równe jedności. Otrzymujemy wówczas klasyczny obraz oddziaływania fali elektromagnetycznej z materią.

3.

Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w położeniu x, x+dx określa wzór .

Ściśle biorąc nie istnieje funkcja określająca prawdopodobieństwo znalezienia kwantu fali elektromagnetycznej w wybranym punkcie. Jeżeli wybierzemy obszar duży w porównaniu z długością fali to: .

4.

Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu z pędem  w przedziale  równa się , gdzie  jest transformatą Fouriera funkcji .

Dla jednego kwantu prawdopodobieństwo otrzymania pędu z przedziału  jest proporcjonalne do

5.

.

 

 

stała

Tylko w próżni ponieważ kwanty promieniowania mogą być emitowane lub absorbowane przez ruchome ładunki elektryczne.

6.

Istnieje prąd prawdopodobieństwa  który spełnia równanie

 

Nie ma odpowiednika  dla kwantów fali e-m. Istnieje natomiast prąd energii  który spełnia równanie ciągłości   średnia gęstość energii.

 


Uzupełnienie C

Siły, moc, impedancja w ruchu harmonicznym (struna)

Fale biegnące mogą być generowane w skończonych układach za pomocą drgań wymuszonych na brzegach układu. Rozważmy ruch rozciągniętej struny obciążonej napięciem T, mającej gęstość liniową . Niech warunki brzegowe określają wzory

                                                                              (C.1)

gdzie l oznacza długość struny. Wektor falowy wybieramy w postaci

                                                                                                             (C.2)

 jest prędkością fazową fali

                                                                                                                              (C.3)

Warunki brzegowe wywołują ruch struny w kierunku prostopadłym do struny. Składowa prostopadła siły pobudzającej działająca na strunę w punkcie  ma postać

                                                                                                        (C.4)

Na końcu struny  składowa siły jest określona za pomocą wzoru

                                                                                                                (C.5)

W drganiach wymuszonych struny, końce struny poruszają się w kierunku  do x. Stąd moc wymuszającą ruch opisuje wzór

                                                                            (C.6)

Dla fali biegnącej moc absorbowana i prędkość są proporcjonalne

                                                                                                    (C.7)

A zatem

                                                                              (C.8)

gdzie stała Z

                                                                                                                    (C.10)

nosi nazwę impedancji struny. Impedancja określa moc niezbędną do generacji fali biegnącej. Moc niezbędna w punkcie  równa się

                                                                                  (C.11)

Średnia moc równa się

                                                                                                                      (C.12)

W ogólnym przypadku fala biegnąca jest opisywana przez wzór

                                                                                                              (C.13)

W tym przypadku impedancja jest zdefiniowana następująco:

                                                                      (C.14)

Stąd

                                                                         (C.15)

Zespoloną impedancję określa wzór

                                                                                    (C.16)

Średnia moc niezbędna do generacji fali (C.13) jest określona za pomocą wzoru

                                                         

 



* H.C. Manoharan, C.P.Lutz, D.M. Eigler, Nature, vol. 403 (2000), p. 512;

G.A. Fiete, E.J. Heller, http://lanl.arxiv.org/cond-mat/021167, April 2003