Kwantowa teoria pola (KTP) opisuje z zadziwiającą precyzją oddziaływania elektrosłabe, a także (z dokładnością do słynnego problemu uwięzienia kwarków) silne. Z kolei oddziaływanie grawitacyjne okazuje się być przejawem geometrii naszej czasoprzestrzeni, opisywanej przez ogólną teorię względności (OTW). Niestety, mimo długotrwałych wysiłków wielu fizyków nie udało się znaleźć zadowalającej teorii, której szczególnymi przypadkami byłyby zarówno KTP jak i OTW. Jedną z przyczyn tego stanu rzeczy jest fakt, że tzw. długość Plancka lP otrzymana z (podzielonej przez 2 pi) stałej Plancka h w KTP oraz stałej grawitacyjnej G i prędkości światła c w OTW jest niesłychanie mała i efekty tej skali są obecnie eksperymentalnie nieweryfikowalne, być może za wyjątkiem pierwszego stadium ewolucji wszechświata bądź czarnych dziur.
Pewnej wskazówki na temat charakteru owej przyszłej teorii dostarcza następujące heurystyczne rozumowanie [1]: Załóżmy, że usiłujemy bardzo precyzyjnie zlokalizować pewne zdarzenie w czasoprzestrzeni. Wówczas bardzo małe nieoznaczoności współrzędnych tego zdarzenia prowadzą, zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, do bardzo dużych nieoznaczoności odpowiednich współrzędnych pędu, a więc i energii. Wobec dodatniości energii otrzymujemy bardzo dużą jej wartość oczekiwaną w bardzo małej objętości, co prowadzi do powstania czarnej dziury. A więc próba dokładnego zbadania geometrii czasoprzestrzeni zmienia tę geometrię, jest ona więc w klasycznym sensie niepoznawalna. Mamy więc do czynienia ze zmianą geometrii na bardzo małych odległościach.
Jedną z możliwych dróg do zmiany geometrii czasoprzestrzeni można otrzymać przez odwołanie się do reguł komutacyjnych Heisenberga w mechanice kwantowej. Zgodnie z nimi np. pierwsza współrzędna cząstki x oraz odpowiednia współrzędna pędu px nie są zwykłymi liczbami lecz abstrakcyjnymi obiektami (operatorami) takimi, że x px - px x = i h. W szczególnoći x px jest różne od px x. Teraz jest już tylko jeden krok do założenia, że same współrzędne x, y, z spełniają xy różne od yx itp., a więc są nieprzemiennymi obiektami tworzącymi pewną algebrę C. Gdyby xy = yx itp. to t, x, y, z możnaby utożsamić ze współrzędnymi na klasycznej czasoprzestrzeni. Obecnie natomiast t, x, y, z wyobrażamy sobie jako "współrzędne na (czaso-) przestrzeni kwantowej". Oczywiście takich przestrzeni kwantowych jest bardzo wieletyle ile nieprzemiennych algebr. Interesującymi modelami będą tu przestrzenie kwantowe mające własności zbliżone (w pewnym sensie) do klasycznych, co stwarzałoby możliwość przyjrzenia się na tych konkretnych przykładach mechanizmom mogącym wystąpić w szukanej teorii.
Niewątpliwie najprostszą czasoprzestrzenią jest czasoprzestrzeń
szczególnej teorii względności tzn. przestrzeń Minkowskiego M
z czterema współrzędnymi t,
x, y, z, które odpowiednio transformują się przy zmianach układu
odniesienia zgodnie z działaniem grupy Poincere P na M
(tak naprawdę zamiast P bierzemy podwójne nakrycie jej spójnej
składowej, które jest w KTP ważniejsze niż sama grupa Poincare). Naszym
zadaniem jest więc znalezienie przestrzeni kwantowych o własnościach
analogicznych do M wyposażonego w działanie P na M.
Nazywamy je kwantowymi przestrzeniami Minkowskiego (k.p.M.).
Są one zdefiniowane w następujący sposób: działanie P na M
oraz mnożenie grupowe w P definiują pewne algebraiczne struktury
(kodziałanie Gamma oraz komnożenie Delta) na poziomie funkcji
(w szczególności współrzędnych) na P oraz M. Struktury te
opisują własności teorii reprezentacji grupy P oraz własności
transformacyjne funkcji na M. Naszymi g\lównymi postulatami
wynikającymi z zasady korespondencji są:
1. te własności mają pozostać bez zmian
2. funkcje na P (oraz M) są zastąpione nieprzemiennymi
obiektami, ale tak by "rozmiar" odpowiednich algebr nie uległ zmianie.
Niemal kompletna klasyfikacja kwantowych grup Poincare została podana w [2]. Każdej z nich odpowiada dokładnie jedna k.p.M. "Współrzędnymi" na niej są operatory x0=t, x1=x, x2=y, x3=z spełniające układ relacji (Rij,kl - deltaik deltajl) (xkxl - Zkl,mxm+Tkl)=0 i, j=0, 1, 2, 3 (sumowanie po powtarzających się wskaźnikach, liczbowe współczynniki macierzy R, Z, T można wyliczyć dla poszczególnych przypadków na podstawie [2]). Warto zauważyć, że macierze R są rozwiązaniami słynnego równania Yanga-Baxtera przy czym ich kwadraty są macierzami jednostkowymi. W naturalny sposób określa się liczbowe współczynniki tensora metrycznego gij. Następnym etapem jest wyróżnienie k.p.M. spe\lniających tzw. warunek kwazitriangularności. Dla nich macierz R pozwala przestawiać cząstki i definiować przestrzeń Focka. Ponadto istnieje wówczas jedyny rachunek różniczkowy na k.p.M., o własnościach analogicznych do klasycznego. Spełnia on "skwantowaną" regułę Leibniza np. derivi(xkf)= deltaikf+(Rkl,inxn+Zkl,i) derivl(f) (patrz [3]). W naturalny sposób wprowadzamy niezmienniczy dalambercjan, równania KleinaGordona (cząstki o spinie 0) oraz Diraca (spin 1/2).
Klasyczna grupa Poincare P składa się z grupy Lorentza (nie zmieniającej początku układu odniesienia, otrzymanej przez składanie obrotów oraz pchnięć Lorentzowskich, polegających na przejściu od pewnego układu odniesienia do układu poruszającego się względem niego z pewną stałą prędkością) oraz translacji polegających wy\lącznie na zmianie początku układu odniesienia. Otóż jednej kwantowej grupie Lorentza (określającej macierz R) odpowiada na ogó\l\ wiele kwantowych grup Poincare (można dodawać translacje na różne sposoby). W szczególności dla klasycznej grupy Lorentza (i macierzy R danej przez Rij,kl= deltail deltajk) istnieje wiele kwantowych grup Poincare i k.p.M. Ciekawą własnością tych k.p.M. jest to, że fale płaskie eixapa (gdzie pa są liczbami zaś xa nieprzemiennymi "współrzędnymi") podobnie jak w przypadku klasycznym rozwiązują równanie Kleina-Gordona i mają określony pęd Pa ale w ogólności Pa nie są równe pa lecz są skomplikowanymi funkcjami pb, b= 0, 1, 2, 3. Podobnie związek masy m z pb jest bardziej skomplikowany niż w zwykłej teorii [3],[4]. W szczególności ulega zmianie postać propagatora jednocząstkowego (może nastąpić jego częściowa regularyzacja bądź efekt podobny jak dla jednowymiarowej dyskretnej siatki).
Reasumując, k.p.M. i obiekty z nimi związane pozwalają:
1. zobaczyć standardową teorię na tle innych (np. w standardowej
teorii macierz Diraca gamma0 występuje w 2 rolach -
w równaniu Diraca oraz przy sprzęganiu bispinorów; obecnie te 2 role
bez większej szkody zostają rozdzielone i są spełniane przez na ogół
różne macierze)
2. przeprowadzać dowody w naturalny sposób, oparty na teorii
reprezentacji grup (mechaniczne podstawianie macierzy do wzorów
jest praktycznie niemożliwe z uwagi na wielość różnych przypadków)
3. uzyskać pewne regularyzacje.
Literatura
[1] Nahm, W., rozumowanie przedstawione w czasie wykładu w 1991 r.
[2] Podleś, P., Woronowicz, S.L., On the classification of
quantum Poincare groups, Commun. Math. Phys. 178 (1996), 61--82.
[3] Podleś, P., Solutions of KleinGordon and Dirac equations on
quantum Minkowski spaces,
Commun. Math. Phys. 181 (1996), 569--585.
[4] Podleś, P., The Dirac operator and gamma matrices for
quantum Minkowski spaces, J. Math. Phys. 38 (1997), 4474--4491.