Sesja S4C
Jan L. Cieśliński
Instytut Fizyki, Uniwersytet w Białymstoku
Zaczniemy od krótkiego wprowadzenia w teorię solitonów
[1, 2], czyli całkowalnych równań nieliniowych, na
przykładzie najbardziej chyba znanego równania solitonowego
jakim jest równanie Kortewega-de Vriesa (KdV). Kluczową rolę
odgrywa w tym przypadku równanie Schrödingera:
Przejdziemy teraz do metody otrzymywania ścisłych rozwiązań równania KdV. Szukamy transformacji psi-->psi', u-->u' zachowującej równanie (1) (czyli żądamy -psi',xx + u' psi' = lambda psi'). W ubiegłym stuleciu (równanie (1) znane było już w matematyce jako problem Sturma-Liouville'a) Darboux zauważył, że można zapostulować psi' = psi,x - sigma psi, przy czym sigma=sigma(x) jest pewną funkcją. Można obliczyć, że sigma = phi-1 phi,x, gdzie phi spełnia równanie - phi,xx + u phi = lambda1 phi (ten sam potencjał, lecz inna energia). Ponadto u'=u-2 sigma,x. Zaczynając od u=0 otrzymujemy w ten sposób u' będące solitonem, czyli zlokalizowanym rozwiązaniem, poruszającym się ze stałą prędkością bez zmiany kształtu. W podobny sposób można "dodać" soliton na zadane tło oraz otrzymać rozwiązania będące superpozycją (nieliniową!) dowolnej liczby solitonów.
Zarówno równanie Schrödingera (1), jak i
transformację Darboux można przedstawić w postaci macierzowej:
Psi,x = U Psi, Psi' = D Psi, przy czym jeśli psi,
phi oznaczają dwa liniowo niezależne rozwiązania (1), to
psi,x | phi,x | 0 | u - lambda | - sigma | u - lambda - sigma,x | ||||
Psi:= | , U = | , D = | . | ||||||
psi | phi | 1 | 0 | 1 | - sigma |
Podejście powierzchni solitonowych [4] wiąże teorię
solitonów z klasyczną geometrią różniczkową rozumianą w
duchu Bianchiego, Darboux i innych wielkich geometrów XIX wieku
[5]. Mianowicie, mając macierzową funkcję falową Psi
definiujemy F za pomocą wzoru Syma-Tafla [4,6]
Zadając różne postacie problemów spektralnych można
spodziewać się otrzymania coraz to innych układów równań
solitonowych. Problemy spektralne związane z macierzami 2-ego i
3-ego stopnia są już w zasadzie dawno przebadane i trudno
znaleźć w ten sposób cokolwiek nowego. W przypadku macierzy
większego wymiaru otrzymywane układy, choć całkowalne, nie
są zazwyczaj zbyt interesujące. Nowe perspektywy otwiera
zastosowanie algebr Clifforda [8]. Po pierwsze, otrzymujemy
wygodną metodę traktowania szerokiej klasy problemów z
macierzami dużych wymiarów (algebry Clifforda można
reprezentować macierzami) i dowolną liczbą zmiennych
niezależnych. Po drugie, problemy spektralne w algebrach
Clifforda często mają ciekawą interpretację geometryczn\c a:
interesujący jest nie tyle otrzymywany układ równań
nieliniowych, ale raczej obiekt geometryczny opisywany tymi
równaniami. Na przykład rozważmy problemy spektralne typu:
Wzór (2) dla lambda=0 definiuje w
tym przypadku obiekt zanurzony w przestrzeni będącej przekrojem V i W.
Wektory styczne, partial F/partial xk =
Psi-1 ek ak Psi,
są parami ortogonalne.
Na ogół otrzymujemy kilka interesujących obiektów
geometrycznych (rzutując F na odpowiednie
podprzestrzenie). W przypadku n=q=2
otrzymujemy parę tzw. powierzchni izotermicznych zanurzonych w Rr
[6]. W przypadku r=q=n otrzymujemy n różnych sieci
ortogonalnych w Rn, a
pojawiające się wówczas równania nieliniowe to układ
równań Lamego. Dla problemów spektralnych (3) można
skonstruować transformację Darboux-Bäcklunda. Zadawana
jest ona przez
Przedstawione tu rezultaty okazują się mieć zastosowanie
nie tylko w geometrii, ale i w fizyce (publikacja na ten temat
jest dopiero w przygotowaniu). W przypadku r=n=4
i e1
Tematyka badań przedstawiona w tym krótkim artykule jest finansowana przez Komitet Badań Naukowych (grant Nr 2 P03B 143 15).
Literatura
1. V.E.Zakharov, S.V.Manakov, S.P.Novikov, L.P.Pitaievsky:
Teoria solitonów, Nauka, Moskwa 1980 [po rosyjsku].
2. A.Sym: ``Solitony'', Postępy Fizyki 31
(1980) 3-18.
3. C.S.Gardner, J.M.Greene, M.D.Kruskal, R.M.Miura:
``Method for solving the Korteweg-de Vries equation'', Phys.Rev.Lett.
19 (1967) 1095-1097.
4. A.Sym: ``Soliton Surfaces'', Lett. Nuovo Cim. 33
(1982) 394-400.
5. S.S.Chern: ``Surface Theory with Darboux and Bianchi'', w
książce Miscellanea Mathematica, str. 59-69,
Springer-Verlag, Berlin-New York 1991.
6. J. Cieśliński: ``The
Darboux-Bianchi-Bäcklund transformations and soliton
surfaces'', w książce Nonlinearity & Geometry (red.
D. Wójcik i J. Cieśliński), str. 81-107, PWN, Warszawa 1998.
7. J.Cieśliński, P.K.H.Gragert, A.Sym: ``Exact Solution
to Localized-Induction-Approximation Equation Modelling Smoke
Ring Motion'', Phys.Rev.Lett. 57 (1986) 1507-1510.
8. J.Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów,
spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.