Teoria separowalności układów bihamiltonowskich

Metoda separowalności zmiennych należy do podstawowych metod fizyki matematycznej poczynając od XIX wieku. Zapoczątkowana pracami D'Alamberta, Fouriera i Jacobiego, przez wiele dekad była jedyną znaną metodą całkowania układów dynamicznych. Przypomnijmy krótko metodę separacji zmiennych w mechanice klasycznej. Rozważmy hamiltonowski układ mechaniczny o 2n stopniach swobody, całkowalny w sensie Liouville'a. Oznacza to, że istnieje n liniowo niezależnych funkcji h_i (hamiltonianów), które są w inwolucji względem kanonicznego nawiasu Poissona: {h_j,h_k}=0. Zbiór zmiennych kanonicznych (lambda _i, mu _i)_i=1ⁿ nazywamy zmiennymi separowalności jeśli isnieje n funkcji postaci phi _i(lambda _i,mu _i,h₁,...,h_n)=0, i=1,...,n, z których każda łączy parę sprzęgniętych zmiennych i wszystkie hamiltoniany. Ustalając wartości hamiltonianów h=const=a_j otrzymujemy jawną faktoryzację torusa Liouville'a. Oznacza to, że w równaniu Hamiltona-Jacobiego w zmiennych (lambda _i,mu _i) funkcja generująca W(lambda ,a)=suma_i=1ⁿW_i(lambda _i,a) i w konsekwencji równania ruch potrafimy znaleźć przez kwadratury.

W XIX wieku i większości XX, dla wielu modeli mechaniki zmienne separowalności były albo odgadywane albo znajdowane metodami ad hoc. Fundamentalny postęp w teorii separowalności nastąpił w 1985 roku, kiedy to E.Sklyanin zaadoptował teorię reprezentacji Laxa do systematycznego znajdowania zmiennych separacji (patrz artykuł przeglądowy [1] i cytowana tam literatura). W ostatnich dwóch latach została sformułowana alternatywna teoria separowalności układów skończenie wymiarowych oparta na bihamiltonowskości układów całkowalnych w sensie Liouville'a. Wyjaśnijmy krótko czym jest bihamiltonowskość. Niech M z elementami u oznacza rozmaitość różniczkową (przestrzeń fazową), T_uM i T_u^*M przestrzeń styczną i kostyczną w u oraz <.,.>:T_u^*M x T_uM --> R. Dalej, niech dF oznacza różniczkę gładkiej funkcji F w C^infty (M). M nazywamy rozmaitością Poissona jeśli jest wyposażona w nawias Poissona {.,.}_pi :C^infty (M) x C^infty (M) --> C^infty (M) w ogólności zdegenerowany. Odpowiednia macierz Poissona pi jest zdefiniowana przez {F,G}_pi (u):= < dF(u), pi(u)dG(u)>, czyli w dowolnym punkcie u, pi (u): T_u^* M --> T_uM jest liniowym antysymetrycznym odwzorowaniem spełniającym tożsamość Jacobiego. Dowolna funkcja c w C^infty (M), taka, że dc w pi , nazywana jest Casimirem macierzy pi . Niech pi₀,pi ₁ będą dwoma macierzami Poissona na M. Pole wektorowe K nazywamy polem bihamiltonowskim ze względu na pi₀ i pi₁ jeśli istnieją dwie funkcje H,F w C^infty (M), takie, że
K=pi ₀ dH=pi₁ dF.   (1)
Poissonowskie macierze pi₀ i pi₁ nazywamy zgodnymi jeśli pi_lambda :=pi₁-lambda pi₀ jest również macierzą Poissona dla dowolnego lambda w R. Wtedy pi_lambda nazywamy Poissonowskim ołówkiem. Dla większości znanych bihamiltonowskich układów skończenie wymiarowych obie struktury Poissonowskie są zdegenerowane. Można więc zawsze skonstruować bihamiltonowski łańcuch pól wektorowych, który zaczyna się od Casimira pi₀ i kończy na Casimirze pi _1. Istnienie ołówka Poissona gwarantuje komutację pól wektorowych łańcucha i inwolucję wszystkich Hamiltonianów względem pi₀ i pi₁. Wiele przykładów oraz metody konstrukcji łańcuchów czytelnik znajdzie w książce [2].

Jak istnienie bihamiltonowskich łańcuchów wiąże się z separowalnością wyjaśnimy na przykładzie najprostszej klasy łańcuchów z jednym Casimirem. Jak się okazuje, istnienie łańcuchów bihamiltonowskich jest charakterystyczną cechą układów separowalnych. Rozpatrzmy rozmaitość Poissona M (dim M=2n+1) wyposażoną w ołówek Poissonowski pi_lambda =pi ₁-lambda pi₀ maksymalnego rzędu. Wtedy związany z nim łańcuch [3] jest postaci
pi₀ dh₀=0, pi₀dh₁=K₁=pi₁dh₀,..., pi₀dh_n=K_n=pi₁dh_n-1, 0=pi₁dh_n,   (2)
gdzie K= K₁,H=h₁,F=h₀. Załóżmy dla prostoty rozważań, że łańcuch (6) został znaleziony w reprezentacji dowolnych zmiennych kanonicznych (q,p) i zmiennej Casimirowskiej c. Wtedy oczywiście pi₀ jest zdegenerowaną macierzą kanoniczną i h₀=c.

W pracach [2,4] został znaleziony bihamiltonowski łańcuch (6) w zmiennych separowalności. W rozpatrywanym przez nas przypadkach zgodne struktury Poissona przybierają następującą postać:

	theta0	0			theta1	K1			0	I			0	Lambda
pi0 =			,	pi1 =			,	theta0 =			,	theta1 =			,  (3)
	0	0			- K1T	0			-I	0			-Lambda	0

gdzie Lambda = diag (lambda₁,...,lambda_n), I jest macierzą jednostkową a K₁ jest pierwszym polem wektorowym hierarchii. Przejdźmy teraz do redukcji Poissonowskiego ołówka pi_lambda na symplektyczny liść S macierzy pi₀, (dim S=2n) ustalając wartość zmiennej Casimira. W rozważanym przypadku ołówek Poissona redukuje się w sposób trywialny, jako że oczywistym jest iż theta_lambda =theta₁-lambda theta₀ jest niezdegenerowanym ołówkiem Poissona na S. Ponadto, tak zwana macierz Nijenhuisa N=theta₁ theta₀^-1 jest diagonalna w zmiennych separacji.

Rozpatrzmy obecnie dowolną transformację kanoniczną (lambda,mu ) --> (q,p) niezależną od zmiennej c i w ogólności nie punktową. Zaletą pozostania w zbiorze zmiennych kanonicznych jest jasna struktura zdegenerowanego ołówka Poissona i trywialność jego redukcji na symplektyczny liść pi₀. Tak więc mając łańcuch dany w naturalnych zmiennych kanonicznych, theta₀ jest niezdegenerowaną kanoniczną macierzą Poissona a theta₁ jest niezdegenerowaną niekanoniczną macierzą Poissona zależną od (q,p). Możemy więc skonstruować macierz Nijenhuisa N(q,p). Transformacja do zmiennych separacji jest transformacją diagonalizującą N. W przypadku transformacji punktowych jest ona elementarna, dla transformacji niepunktowych procedura jest bardziej złożona, ale również znana.

Teorię separowalności dla łańcuchów z wieloma Casimirami czytelnik znajdzie w pracach [5,6].

Literatura

1. E.K.Sklyanin, Separation of variables. New trends, Prog.Theor.Phys. Suppl. 118 (1995) 35
2. M.Błaszak, Multi-Hamiltonian theory of dynamical systems, Springer-Verlage 1998
3. I.M.Gel'fand i I.Zakharevich, On the local geometry of a bi-Hamiltonian structure, In the Gel'fand Mathematical Seminars 1990-1992 (L.Corwin at al. eds.), Birkauser, Boston, 1993 p. 51
4. M.Błaszak, On separability of bi-Hamiltonian chain with degenerated Poisson structure, J.Math.Phys. 39 (1998) 3213
5. M.Błaszak, Theory of separability of multi-Hamiltonian chains, J.Math.Phys. 40 (1999) 5725
6. M.Błaszak, Separability of two-Casimir bi- and tri-Hamiltonian chains, Rep.Math.Phys. (in press)