Metody Matematyczne Fizyki

Informacje ogólne:

wykład: prof. J. Tafel, piątek 16-19 N021, ul. Hoża 69

ćwiczenia: dr A. Bednorz, wtorek 15-18 P114, ul. Pasteura 7

Wykłady

Ćwiczenia

Sprawdzian 2: 4 czerwca 2013, na ćwiczeniach, grupy Liego i ich reprezentacje, do zadania 45

Sprawdzian 1: 7 maja 2013, na ćwiczeniach, grupy skończone i ich reprezentacje

Grupy skończone:trywialna, cykliczne Z_n, iloczynowe Z₂xZ₂, permutacji S_n, alternujące A_n (w tym A₄). Rozkład permutacji na cykle i transpozycje (znak), podgrupy i warstwy, rząd grupy.
Tabela działania grupy S₃, grupa kwaternionów, grupy diedralne D_n (w tym D₄). Grupa Z, translacje całkowite, rzeczywiste i wielowymiarowe, grupa obrotów SO(2), unitarna U(1) i ich izomorfizm, grupa obrotów SO(3), dowód istnienia osi obrotu
Skończone podgrupy SO(3) (obrotów), obroty graniastosłupów prawidłowych i wielościanów foremnych, grupy macierzy trójkątnych, translacje i obroty, obroty i symetrie tj. O(2), O(3), grupy unitarne U(1), U(2), parametryzacja SU(2).
Lemat Burnside'a (Cauchy-Frobeniusa), izomorfizm grupy symplektycznej Sp(1), SU(2) i SO(3)xZ₂, twierdzenie Cayleya
Orbity (dla obrotów dwudziestościanu, SO(2), SU(2), SO(3) i macierzy trójkątnych), reprezentacja dołączona SU(2) na macierzach hermitowskich bezśladowych (Pauliego) i związek z SO(3). Reprezentacje tensorowe. Nierozkładalność macierzy trójkątnych. Rozkład SO(2) na R²xR² na składowe nieprzywiedlne (ślad, część antysymetryczną i symetryczną bezśladową), klasy sprzężoności grupy kwaternionów.
Reprezentacje nieprzywiedlne grup skończonych (cykliczne, permutacji, kwaternionów). Charaktery, reprezentacja regularna. Tablice charakterów.
Reprezentacje A₄. Rozkład iloczynu tensorowego dwuwymiarowych reprezentacji grupy kwaternionów. Grupa Diraca. Reprezentacje iloczynu prostego. Relacje ortogonalności charakterów. Zapis wykładniczy SO(2).
Własności exp A (e do macierzy), generatory algebry, stałe struktury na przykładzie algebry macierzy trójkątnych (nilpotentnych) i algebry so(3) (dla grupy SO(3)). Forma Cartana-Killinga, jej ujemność a zwartość grupy.
Reprezentacja dołączona grup i algebr, twierdzenie Engela, algebra macierzy Pauliego. Porównanie algebr su(2) i so(3). Grupa Lorentza SO(1,1).
Grupa Lorentza SO(1,2) i algebra so(1,2). Homomorfizm SL(2,R) -> SO(1,2) i algebra sl(2,R). Grupa Lorentza SO(1,3) i algebra so(1,3). Homomorfizm SL(2,C)->SO(1,3) i algebra sl(2,C). Niespójność SO(1,n).
Operator Casimira, reprezentacje nieprzywiedlne SO(2)=U(1), SO(3), SU(2), SO(1,2) i SO(1,3)

Zadania domowe

Wybrane klasy grup skończonych

Cykliczne, Z_n, (n elementów). Uwaga Z_pq=Z_pxZ_q wtedy i tylko wtedy, gdy p i q są względnie pierwsze
Permutacji S_n (n! elementów)
Alternujące A_n, permutacje z dodatnim znakiem (n!/2 elementów)
Diedralne D_n, symetrie wielokątów foremnych (2n elementów)
Dicykliczne Dic_n, kwaternionowe, generatory e^iπ/n oraz j (4n elementów)
Lista małych grup (do 16 elementów) (po angielsku)

Wybrane klasy grup Liego

Ogólne liniowe GL(n,K), gdzie K jest ciałem (zwykle R lub C), macierze nxn, niezerowy wyznacznik
Specjalne liniowe SL(n,K), wyznacznik 1
Ortogonalne O(k,K) i uogólnione ortogonalne O(k,l,K),zachowują iloczyn skalarny lub uogólniony iloczyn skalarny (o sygnaturze (k,l)), zwykle K=R
Unitarne U(k) lub U(k,l) zachowują zespolony iloczyn skalarny, zawsze K=C
Specjalne ortogonalne i unitarne SO, SU, wyznacznik 1
Grupy symplektyczne Sp(n), macierze kwaternionów, zachowany kwaternionowy iloczyn skalarny, mają 2n-wymiarową reprezentację zespoloną
Grupy Liego ogólnie (po angielsku)