LOKALNY REALIZM
także
LOKALNE PARAMETRY (ZMIENNE) UKRYTE

Lokalny realizm można testować doświadczalnie. Dwoje obserwatorów, zwykle nazywanych Alice i Bob (krócej A i B), wpływających na wspólny układ przez swoje wolne wybory i potem mierzących szybciej niż prędkość komunikacji (w szczególności prędkość światła). Jeśli wyniki pomiarów nie mogą być opisane przez żaden lokalny i realny proces, wtedy lokalny realizm jest łamany. Test można wykonać analogicznie z pomocą wielu obserwatorów, np. A(lice), B(ob), C(hris), D(avid), ... ale jest to zwykle trudniejsze.

Nierówność Bella

W 1964 roku John Stewart Bell wymyślił test lokalnego realizmu, później zmieniony przez Clausera, Horne'a, Shimony'a and Holt'a (CHSH) [1], dla dwóch obserwatorów (Alice i Bob lub A i B). Każdy obserwator ma swobodę zastosowania dwóch typów wpływów, 1 lub 2 (jeśli jest więcej, dzielą się na dwie klasy). Potem szybko wykonują obserwacje (szybciej niż odległość między nimi podzielona przez prędkość komunikacji). Możliwe wyniki dla każdego obserwatora są tylko dwa, +1 lub −1 (jeśli jest więcej, znów dzielimy na dwie klasy). Te wyniki, dla każdego obserwatora, A i B, i każdego wpływu, 1 i 2 będą oznaczane A₁, B₁,A₂, B₂. Jeśli wartości wyników są ±1 wtedy zachodzi nierówność −2 ≤ A₁B₁ + A₁B₂ + A₂B₁ − A₂B₂ ≤ +2. Ponieważ wyniki są losowe, ostateczna nierówność Bella-CHSH jest dla korelacji statystycznych (oznaczanych przez < >)

−2 ≤ <A₁B₁> + <A₁B₂> + <A₂B₁> − <A₂B₂> ≤ +2.

Korelacje są liczone następująco. Alice i Bob wykonują pary wpływ-pomiar, zapisują typ wpływu i wynik pomiaru, i liczbę porządkową pary (różne liczby dla różnych par). Czas pomiędzy wpływem i pomiarem dla pojedynczej pary musi być krótszy niż czas komunikacji (odległość Alice-Bob przez prędkość komunikacji). Kiedy dostatecznie dużo pair jest gotowych, sędzia bierze protokoły Alice i Boba i liczy korelacje, uśredniając iloczyny wyników z tymi samymi: liczbą porządkową i typami wpływu. Jeśli lokalny realizm zachodzi i dośwadczenie jest wykonane jak wyżej, wtedy nierówność Bella-CHSH musi byc zachowana, w granicy błędu statystycznego.

Kwantowe łamanie

Uwaga historyczna: Pierwszą sugestię że mechanika kwantowa może łamać lokalny realizm postawili Einstein, Podolsky i Rosen w 1935 roku[2]. Jednak to Bell jako pierwszy zaproponował konkretny test opisany poniżej [1].
W mechanice kwantowej obserwowane wielkości są reprezetowane przez operatory (macierze algebraiczne) O = O^†, natomiast stany (czyste) przez wektory |ψ>, z hermitowskimi sprzężeniami <ψ| = (|ψ>)^†. Iloczyn skalarny ma postać <φ|ψ>. Stany powinny być znormalizowane, <ψ|ψ> = 1. Stany rozpoznawane przez Alice i Boba są liniowymi kombinacjami stanów iloczynowych |ab>, gdzie a,b oznaczają stany rozpoznawane odpowiednio przez Alice i Boba. W szczególności, wyróżniamy dwa stany ortonormalne |±> dla każdego obserwatora. Alice i Bob są w stanie zmierzyć wielkości O = X cos(φ) + Z sin(φ) gdzie X = |+><−| + |−><+| i Z = |+><+| − |−><−|. Wielkości mierzone przez Alice i Boba są dane przez A,B = O we właściwej podprzestrzeni stanóws (a lub b) z odpowiednimi kątami α i β w miejesce φ. Rozważmy specjalny, stan singletowy Bella |ψ> dany przez √2|ψ> = |+−> − |−+>. W tym przypadku <AB> = <ψ|AB|ψ> = − cos(α-β). Dla szczególnego wyboru α₁ = 0, α₂ = π/2, β₁ = 3π/4, β₂ = π/4, dostajemy <A₁B₁> = <A₁B₂> = <A₂B₁> = − <A₂B₂> = −1/√2. W wyniku dostajemy

<A₁B₁> + <A₁B₂> + <A₂B₁> − <A₂B₂> = −2√2 < −2.

Zatem nierówność Bella-CHSH jest łamana razem z lokalnym realizmem.
Istotna uwaga: Powyższy przykład opiera się mocno na stosowaniu standardowej kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej. Według tej interpretacji pomiary mogą byc wykonywane natychmiastowo. W rzeczywistości czas pomiaru jest zawsze kwestią interpretacji, bo wybór i koniec pomiaru można w zasadzie przesuwać dowolnie w czasie. Ponadto, szybkie wpływy i pomiary nie zawsze są wykonalne. Nie ma także idealnych wielkości dwuwartościowych, co często obchodzi się przez dzielenie na klasy.

Stan doświadczalny

Cztery eksperymenty złamały nierówność Bella-CHSH z preselekcją lub podobną nierówność Eberharda [3] zakładając lokalność w sensie teorii względnośći - brak sygnalizacji szybszej od światła. W Delft [4] stany w centrach azot-wakans odseparowanych o 1,3km splecione z fotonami, spotykającymi się w połowie (mniej więcej) były mierzone promieniowaniem mikrofalowym i laserowym w ciągu 1 mikrosekundy. Nierówność B-CHSH została złamana o 2 odchylenia standarowe przeze 245 zdarzeń. W NIST [5], 10⁵ splecionych fotonów było mierzonych przez komórki Pockelsa zmieniające polaryzację, polaryzatory i fotodetektory, odseparowane o 180m. W Wiedniu [6], 10⁶ fotonów było mierzonych podobnie jak w NIST, odseparownych o 60m. W NIST i Wiedniu nierówność Eberharda została złamana o odpowiednio 5 i 11.5 odchyleń standarowych. W Monachium [7], 10⁴ atomów rubidu w odległośći 400m było splatanych z fotonami (jak w Delft), spotykającymi się aby dokonać preselecji, mierzonych spolaryzowanym laserem. Nierówność B-CHSH została złamana o 6.7 odchylań standardowych. Uwaga: nowy eksperyment w Wiedńiu [8] nie liczy się, bo zakłada tzw. fair sampling (jednorodne próbkowanie), co jest luką interpretacyjną. Dokładnie analizując dan [9], znalazłem że eksperymenty w Delft i NIST pokazują także łamanie braku sygnalizacji na poziomie 2 odchyleń standardowych. Dane z Wiednia i Monachium nie złamały braku sygnalizacji, ale są sprzeczne z uproszczonym modelem Bella 2x2. Możlwia przyczyna, dodatkowy wpływ komórek Pockelsa, nie została na razie potwierdzona. Ponadto, pokazałem niedawno [10], że lokalny realizm jest w bezpośrednim konflikcie z teorią względności nawet bez odwoływania się do nierównośći typu Bella. Dlatego obecny stan jest LOKALNY REALIZM JEST TRUDNO POGODZIĆ Z TEORIĄ WZGLĘDNOŚCI ALE TEORIA WZGLĘDNOŚCI (BRAK SYGNALIZACJI) JEST WĄTPLIWA. Następne eksperyementy pokażą czy łamanie braku syganlizacji może być potwierdzone na wyższym poziomie zaufania. Dodatkowo, eksperymenty są kontynuowane, aby zwiększyć zaufanie do swobody wyboru i obiektywności wyników (faktyczny czas pomiaru), co zawsze jest zakładane do pewnego stopnia.

Słaba dodatniość

Chciałoby się opuścić założenie o dwuwartościowych wynikach (±1) i dopuścić dowolne liczby rzeczywiste. Jednak wtedy łamanie nierówności Bella-CHSH nie implikuje łamania lokalnego realizmu. Ogólniej, każdy test oparty korelacjach wyłącznie drugiego (i pierwszego) rzędu, typu <XY> nie będzie łamać lokalnego realizmu[11], bo wyniki można odtworzyć lokalnym i realnym rozkładem gaussowskim ρ ∝ exp(−∑ C⁻¹_XY XY/2), gdzie C jest macierzą korelacji z elementami 2C_XY = <XY+YX> a C⁻¹ jest jej odwrotnością. Ponieważ C jest dodatnio określone, prawdopodobieństwo jest dobrze określonethe (średnie pierwszego rzędu można uwzględnic przez identyczność 1 lub odjęcie X → X − <X>.
Uwaga: Więc dlaczego nierówność Bella-CHSH inequallity zawiera tylko korelacje 2. rzędu? Ponieważ założenie o dwuwartościowych wynikach ±1 jest równoważne <(A² − 1)²> = 0, co wymaga korelacji czwartego rzędu.

Nierówność czwartego rzędu

Wiedząc, że nie mozna zatrzymać się na drugim rzędzie, najniższy możliwy rząd, aby znaleźć nierówność typu Bella-CHSH dla nieograniczonych wyników, to 4. Taka nierówność ma postać[11]

|<A₁B₁(A₁² + B₁²)> + <A₁B₂(A₁² + B₂²)> + <A₂B₁(A₂² + B₁²)> − <A₂B₂(A₂² + B₂²)>| ≤
≤ (<A₁⁴> + <A₂⁴> + <B₁⁴> + <B₂⁴>)/2 + ∑_{D ≠ C; E ≠ C,D,D'} <C⁴>^1/4<D⁴>^1/4 <D² − E²>^1/2/4

gdzie ostatnia suma przebiega C,D,E = A,B_1,2 i X_n' = X_3−n. Nierówność redukuje się do zwykłej nierówności Bella-CHSH dla wyników dwuwartościowych.

Literatura

[1] J.S. Bell, Physics (Long Island City, NY) 1, 195 (1964) [trudno znaleźć]; J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, and R. A. Holt, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969); artykuł przeglądowy A. Shimony w Stanford Encyclopedia of Philosophy, patrz plato.stanford.edu/entries/bell-theorem/
[2] A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935)
[3] P.H. Eberhard, Phys. Rev. A 47, R747 (1993)
[4] B. Hensen et al., Nature 526, 682 (2015)
[5] L.K. Shalm et al., Phys. Rev. Lett. 115, 250402 (2015)
[6] M. Giustina et al., Phys. Rev. Lett. 115, 250401 (2015)
[7] W. Rosenfeld et al., Phys. Rev. Lett. 119, 010402 (2017)
[8] J. Handsteiner et al., Phys. Rev. Lett. 118, 060401 (2017)
[9] A. Bednorz, Phys. Rev. A 95, 042118 (2017); PDF (APS Copyright); arXiv:1511.03509
[10] A. Bednorz, Phys. Rev. D 94, 085032 (2016); PDF (APS Copyright); arXiv:1605.09129
[11] A. Bednorz and W. Belzig, Phys. Rev. B 83, 125304 (2011) ; PDF (APS Copyright); arXiv:1006.4991