Termodynamika i fizyka statystyczna R
Seria 1 Rozwiązania: Zad. 1 (Zuzanna Werner) Zad. 4 (Karol Kuryłek)
Seria 2 Rozwiązania
Seria 3
Seria 4
Seria 5 Rozwiązania (Patryk Michalski)
Seria wielkanocna Rozwiązania - Zad. 1: Emden (1938) Zad. 2: Piotr Garczyński Perez i Vina (1998) Zad. 3: Patryk Michalski Yoder, 2011 Zad 4: Jakub Wróbel Planck, 1924 Ballenger, 2012 Ebeling et al., 2012 Miranda, 2001
Seria 6
Seria 7
Seria 8
Seria 9
Seria 10
Seria 11
Seria 12
Seria treningowa
Kolokwium 1 Rozwiązania - Zad 1: Adam Bednorz Patryk Michalski Zad 2: Arkadiusz Kobus Zad 3: Krzysztof Jachymski
Kolokwium 2 (z rozwiązaniami)
Egzamin pisemny: 19 czerwca, 13:00, sala 1.40 Zadania+rozwiązania
Egzamin ustny: 20 i 21 czerwca. Tematy .
Wykład 1:
O potrzebie fizyki statystycznej. Świat jest raczej niewyliczalny - już problem trzech ciał sprawia kłopoty - patrz tu,
tu ale i tu. Komputery pomagają, ale w ograniczonym stopniu (mino że istnieje Anton i prace takie jak ta). Ale może nie trzeba wyliczać trajektorii wszystkich cząstek na świecie - bo co robić z tą informacją? (nie chcemy podzielić losu zbója Gębona).
Czy sprawa jest beznadziejna? Chaos deterministyczny, który sprawia takie problemy przy problemie trzech (i więcej) ciał paradoksalnie może pomóc - jeśli uklad jest ergodyczny, to do jego opisu można użyć rachunku prawdopodobieństwa. Przykład: stadion Bunimowicza (ergodyczny) vs bilard kolisty (nieergodyczny).
Nowy efekt, który pojawia się w skali makro: nieodwracalność. Procesy nieodwracalne - rozprężanie gazu (wystrzał z bazooki!) i mieszanie cieczy. Jak duży jest mol?
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa. Zdarzenia zależne i niezależne, rozkłady i dystrybuanty.
Wykład 2:
Deska Galtona, rozkład dwumienny i normalny. Cząstki w przegródkach i szukanie stanu równowagi. Dlaczego nie chcą fizyków w Las Vegas?
Wykład 3:
O korzyściach płynących z opisu makroskopowego. Demon Laplace'a a zwykły człowiek. Procesy nierównowagowe. Eksperyment: ruchy Browna (w mleku). Dwa sposoby opisu cząstki Browna - przez przesunięcie (\(x\)) i jego momenty
\[\langle x(t) \rangle=0 \ \ \ \langle x^2(t) \rangle=2Dt\]
lub przez rozkład prawdopodobieństwa \(P(x,t)\) i opisujące jego ewolucję równanie M (w przypadku dyskretnym) lub równanie dyfuzji
\[\frac{\partial P}{\partial t} =
D \frac{\partial^2 P}{\partial x^2},\]
w przypadku ciągłym. (Pierwsze) prawo Ficka łączące prądu dyfuzyjny z gradientem \(P\)
\[J = - D \nabla P\]
Stan stacjonarny a stan równowagi. Jak rozchodzą się zapachy i czy rekin wyczuwa krew nieskończenie szybko?
Przerywnik: odwracalność kinematyczna i doświadczenie Taylora . Więcej obrazków ze świata Arystotelesa można znaleźć w jedynym w swoim rodzaju filmie Taylora, w szczególności odwracalność kinematyczna do zobaczenia tutaj .
Wykład 4:
Ehrenfestowie i ich psy (zapchlone). Równanie M dla pcheł, intepretacja rozkładu równowagowego (wszystkie mikrostany równoprawdopodobne), warunek równowagi szczegółowej. Mikrostany (która pchła gdzie siedzi) i makrostany (stan zapchlenia Azora). Wyliczanie średniej liczby pcheł na Azorze w funkcji czasu.
Pełne analityczne rozwiązanie modelu podał Mark Kac. Symulacja komputerowa z książki IBB2. Rola fluktuacji.
Mierzenie informacji - jak bardzo zaskoczy nas wiadomość od szpiega? Entropia informacyjna Shannona (i jego domniemana rozmowa z von Neumannem ). Rozkład jednorodny maksymalizuje entropię (jak wiecie z analizy).
Wykład 5:
Powrót do psów. Dwa podejścia do entropii. Entropia Gibbsa:
\[ S_G = - k \sum_i p_i \log p_i \]
i Boltzmanna
\[ S_B = k \log \Sigma \]
gdzie Σ to liczba mikrostanów w danym makrostanie. Ważne: SG jest właśnościa zespołu statystycznego, a SB - pojedynczego układu.
Dowód, że entropia Gibbsa dla psów Ehrenfestów rośnie w czasie i osiąga maksimum w stanie równowagi. Status II zasady termodynamiki - prawo statystyczne czy absolutne? Więcej o Gibbsie, Boltzmannie i II zasadzie np. tu.
Mechanika klasyczna a fizyka statystyczna. Potoki fazowe, twierdzenie Liouville'a. Funkcja rozkładu - stała wzdłuż trajektorii w przestrzeni fazowej
\[f(\Gamma_0,0)=f(\Gamma(\Gamma_0,t),t)\]
Świat demona: entropia Gibbsa i jej stałość podczas ruchu układu w przestrzeni fazowej.
Jak uratować drugą zasadę termodynamiki? Rozsmarowywanie rozkładu
\[\tilde{f}(\Gamma,t)=\frac{1}{|\omega|}\int_{\omega} f(\Gamma^{\prime},t) d\Gamma^{\prime} \]
Wykład 6:
Świat widziany nieostro: entropia gruboziarnista \( \tilde{S}_t=-k \int \tilde{f}(\Gamma,t) \log \tilde{f}(\Gamma,t) d\Gamma \) i dowód, że rośnie ona podczas ruchu w przestrzeni fazowej. Mapa kota Arnolda , zastosowana do kwadratu i do jednego z wykładowców. Twierdzenie Poincarégo o powracaniu, tutaj zastosowane do samego Poincarégo (dziwi Was że tak szybko powrócił? Bo to lekkie oszustwo).
O trudnej sztuce mieszania: "stirred not shaken" w przestrzeni fazowej. Marzenie Gibbsa: jak wymieszac doskonale? W przypadku Martini w kieliszku:
\[\frac{\mu(T^n(W) \cap V)}{\mu(V)} = \frac{\mu(W)}{\mu(C)}\]
gdzie W to wermut, V - dowolny obszar kieliszka o niezerowej mierze, \(\mu(C)\) - całkowita objętość koktailu (wermut+gin).
Marzenie Boltzmanna: ergodyczność. Średnia po czasie
\[ \langle f(\Gamma) \rangle_t = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int f(\Gamma_t) dt \]
i średnia po przestrzeni fazowej
\[ \langle f \rangle_\Omega = \frac{1}{V(\Omega)} \int f(\Gamma) d\Gamma. \]
Czy i kiedy sa równe i ile trzeba na to czekać? I czy to w ogóle ma znaczenie? Raczej nie: nie interesuje nas zwykle trajektoria układu w pełnej przestrzeni fazowej, a jedynie jej rzut na podprzestrzeń fizycznie ważnych zmiennych.
Wykład 7:
Ludwig Boltzmann i oponenci - paradoksy Loschmidta i Zermelo (i paradoks parkowania na dokładkę). Czasy powrotu. Znaczenie warunków początkowych. Czy Wszechświat to wielka fluktuacja? A może jesteśmy mózgami Boltzmanna (jeden wystarczy) lub żyjemy w symulacji. Mózg Boltzmanna w kulturze popularnej: tu i tu. Jeśli Was to zasmuca to na pocieszenie. Mózg Boltzmanna na poważniej: np. tu lub tu.
Główne postulaty fizyki statystycznej: 1) W makroskopowym układzie procesy spontaniczne (po usunięciu więzów)
przebiegają tak, że liczba mikrostanów odpowiadających realizowanemu makrostanowi rośnie (z dokładnością do fluktuacji). 2) Stanowi równowagi odpowiada makrostan, który realizuje największa liczba
mikrostanów 3) Izolowany układ w równowadze może być znaleziony z równym prawdopodobieństwem w każdym
ze swoich mikrostanów.
Zespół mikrokanoniczny. Dla układu izolowanego:
\[P(mikrostanu) = \frac{1}{\Sigma (E,N,V)},\]
gdzie E, V, N to wielkości charakteryzujące stan równowagi.
Przypadek ciągły:
\[\rho(\Gamma_N) = \frac{1}{\omega(E,V,N)} \delta (E - H(\Gamma_N,V))\]
gdzie
\[\omega(E,V,N) = \int \delta (E - H(\Gamma_N,V)) d\Gamma_N\]
a miara przestrzeni fazowej to
\[d\Gamma_N = \frac{d^{3N}p d^{3N}q}{N! h^{3N}}\]
(wyjdzie w przyszłości jako granica klasyczna statystyk kwantowych). Entropia gazu doskonałego - wzór Sackura-Tetrode. Wielkości intensywne i ekstensywne. Granica termodynamiczna. Statystyczna definicja temperatury.
Wykład 8:
Równowaga mechaniczna i ciśnienie. Równowaga chemiczna i potencjał chemiczny (więcej np. tu). Rózniczka energii wewnętrznej dU = Tds - pdV + μdN i pierwsza zasada termodynamiki. Układ w kontakcie cieplnym z termostatem. Zespół kanoniczny.
Wykład 9:
Fluktuacje energii. Równoważność zespołów w granicy termodynamicznej i energia swobodna: F = U - TS = - kT log Z oraz jej różniczka: dF = -SdT - pdV + μdN. Stół pełen eksperymentów. Temperatura na różne sposoby - absolutna i empiryczna. Zerowa zasada termodynamiki. Termometr gazowy i podejrzenie istnienia zera absolutnego. Handel lodem (przykrytym trocinami). Sanctorius i jego perwersje (trzydzieści lat na wadze). Rozszerzalność cieplna i jej brak dla potencjałów harmonicznych. Ujemna rozszerzalność cieplna - czy istnieje? Tak, ale tylko dla egzotycznych substancji (wolframian cyrkonu, woda). Mierzenie temperatury Paryża za pomoca wieży Eiffla. Efekt Seebecka. Termometry oporowe ze zwykłym opornikiem i półprzewodnikiem. Znikający drut czyli czemu nic nie widać w środku ciała doskonale czarnego? Slajdy do wykładu.
Wykład 10:
Jeszcze o rozszerzalności cieplnej i jej braku dla potencjałów harmonicznych. Problem Fermiego-Pasty-Ulama-Tsingou , czyli dlaczego nie zawsze dochodzi do termalizacji? Tutaj i tutaj więcej o Mary Tsingou. Dlaczego kaczki są ciepłe i jak unikają przegrzewania? Ciśnienie. Sacrum i profanum: wysokoprzepustowe kropidło i diabelskie nurki Kartezjusza. Slajdy do wykładu.
Wykład 11:
Transformacja Legendre'a i menażeria potencjałów termodynamicznych: energia wewnętrzna, energia swobodna, entalpia, energia swobodna Gibbsa. Termodynamiczny taniec: zamieniamy partnerów (T ↔ S, p ↔ V, μ ↔ N) i potencjały (U, F, G, H). Tożsamości Maxwella (z zupełności różniczki dla odpowiedniego potencjału). Kółko (kwadrat) Borna dla leniwych. Rura Rubensa - tu w (muzycznej) wersji 2D. Kwestia prędkości dźwięku - czy zawsze sprężystość adiabatyczna? Slajdy do wykładu.
Wykład 12:
Wypukłość i wklęsłość potencjałów termodynamicznych. Efekty proste i krzyżowe. Wnioski z wypukłości: dodatniość podatności, reguła przekory le Chateliera. Więcej: u Callena
Wykład 13:
Kury na grzędach - interpretacja ciepła i pracy w języku poziomów energetycznych. Twierdzenie adiabatyczne w mechanice kwantowej (uwaga na różne znaczenia tego słowa). Wewnętrzna i zewnętrzna zmiana entropii (pomiędzy dwoma stanami równowagi) - dS = dSzewn + dSwewn. Klasyfikacja procesów Plancka: naturalne, nienaturalne i odwracalne. Druga zasada termodynamiki: wewnętrzna zmiana entropii układu izolowanego jest zawsze dodatnia a równa zeru w przypadku procesu odwracalnego. Dla układu w kontakcie termicznym z otoczeniem dS ≥ đQ/T; dSwewn ≥0. Wielki zespół kanoniczny - przepływ energii i materii do otoczenia.
Wykład 14:
Jeszcze o grzędach - adiabatyczne sprężanie gazu w języku mechaniki kwantowej. Mania wielkości: wielki zespół kanoniczny, wielka suma statystyczna, wielki potencjał termodynamiczny. Gaz doskonały w wielkim zespole kanonicznym. Negentropia i "Czym jest życie?" Schrödingera. Przykład struktur "żywiących się (neg)entropią" - komórki konwekcyjne żyjące w gradiencie temperatury (możecie dostać w kuchni podgrzewając olej na patelni). Inne struktury nierównowagowe - oscylony (możecie dostać w kuchni podrzucając kulki na patelni). Zobaczcie jeszcze tu na chodzące kropelki Yvesa Coudera.
Wykład 16:
Silniki i maszyny cieplne, czyli o mocy poruszającej ognia. Sprawność silnika, cykl Carnota, lodówki. Różne sformułowania drugiej zasady termodynamiki. Slajdy do wykładu.
Wykład 17:
Relacja Gibbsa-Duhema: \( SdT-Vdp +N d\mu = 0 \) i jej zastosowanie do przemian fazowych. Równanie Clausiusa-Clapeyrona
\[\frac{dp}{dT} = \frac{q_p}{T \Delta v}\]
okreslające nachylenie linii współistnienia faz w zależnosci od ciepła przemiany i zmiany objętości właściwych. Linia współistnienia faz. Ciepła przemian fazowych. Klasyfikacja przejść fazowych - przejścia ciągłe i nieciągłe. Gaz van der Waalsa i jego własności. Tajemnice nadkrytycznej wody. Slajdy do wykładu.
Wykład 18:
Mieszaniny i roztwory. Entropia mieszania. Potencjał chemiczny rozpuszczalnika i substancji rozpuszczonej. Zmiany temperatury przejść fazowych dla mieszanin i roztworów (skraplanie powietrza, solenie lodu...) Reguła faz Gibbsa. Napięcie powierzchniowe i kształty kropel. Siły kapilarne - jak wysoko wzniesie się woda w rurce? Slajdy do wykładu.
Wykład 19:
Jeszcze o energii Gibbsa mieszaniny i jej skraplaniu. Nukleacja kropel. Demonologia stosowana. Demon Maxwella i jego różne inkarnacje. W literaturze: demon drugiego rodzaju u Lema, makrodemony u Strugackich, komiks o Maksie widzącym mikrostany. Smoluchowski i jego zapadka, rozpropagowana przez Feynmana. Silniki Brownowskie - ruch w zębatym potencjale. Gry Parrondo czyli jak wygrać grając w dwie sprawiedliwe (lub nawet przegrywające) gry. Silniki Brownowskie a transport w komórce. Zapadki Żurka, Zhenga i van der Broecka.
Wykład 20:
Demonologii ciąg dalszy. Smoluchowski: czy mogą istnieć inteligentne demony? Marsjanin Leo Szilard i jego wynalazki. Lodówka Einsteina-Szilarda. Praca doktorska o Schwankungserscheinungen. Silnik Szilarda - czy łamie drugą zasadę? Brillouin: za pomiar trzeba płacić! Bennett: nie, nie trzeba. Zasada Landauera - czy płacimy entropią za zapominanie? Notatki demoniczne i jeszcze komiks Larry'ego Gonicka.
Kwantowa fizyka statystyczna. Macierz gęstości. Równanie von Neumanna. Kwantowe zespoły statystyczne. Układy nieoddziałujących cząstek. Formalizm liczby obsadzeń.
Wykład 21:
Kwantujemy dalej. Czy dwie kury mogą być na jednej grzędzie? - zakaz Pauliego i wzmocnienie bozonowe. Faktoryzacja wielkiej sumy statystycznej. Statystyki Fermi-Diraca i Bose-Einsteina. Zapomniania rola Natansona: zobaczcie tu, dobrze też poczytać o Bosem. Przejście od sumy po stanach do całki.
Wykład 22:
Równanie stanu gazów kwantowych (i nie tylko) pV=2/3 U. Gaz fermionów w niskich temperaturach. Energia Fermiego. Niezerowa energia i ciśnienie pomimo temperatury zera bewzględnego. Gaz fermionów w temperaturze dużo mniejszej od temperatury Fermiego (ale niezerowej). Rozwinięcie Sommerfelda. Temperatury Fermiego metali nie są wcale małe jak na nasze standardy (~10 tys. stopni). Makroskopowe efekty kwantowe: białe karły (podtrzymywane ciśnieniem zdegenerowanego gazu elektronów) i gwiazdy neutronowe (podtrzymywane ciśnieniem zdegenerowanego gazu neutronów).
Wykład 23:
Jeszcze o fermionach. Potencjał chemiczny vs. energia Fermiego w niskiej temperaturze. Liniowość ciepła właściwego z T. Metal jako gaz elektronów
+ struktura krystaliczna. Pomiary ciepła właściwego i entropii resztkowej metali. Granica klasyczna i ciśnienie Fermiego. Statystyka
kwantowa widziana w kamerze. Zimne gazy atomowe. Wpływ pułapki harmonicznej na gęstość stanów.
Kryształy Pauliego ( tu wersja popularna).
Wykład 24:
Czas na bozony. Ujemność potencjału chemicznego. Zliczanie cząstek i
ograniczenie na ich liczbę w układzie. Gdzie mogą się podziać nadmiarowe
atomy? Rozwiązaniem jest kondensacja w stanie podstawowym. Potrzebne
niska temperatura lub wysoka gęstość. Co można skondensować?
Poszukiwanie bozonów w naturze.
Zimne atomy,
ekscytony,
ekscytony-polarytony, a nawet
magnony.
Problem z fotonami - absorpcja przez wnękę wymaga skonstruowania
rezerwuaru zachowującego liczbę cząstek (ale udało się
tu). Granica klasyczna dla gazu bozonów - tym razem ujemna poprawka do ciśnienia.
Wykład 25:
Dlaczego unikaliśmy układów z oddziaływaniami? Bo są trudne... Ernst Ising i
jego model. Suma statystyczna łatwa do wykonania w 1 wymiarze (ale brak przejścia fazowego), trudna (ale policzalna) w dwóch wymiarach.
Jako pierwszy wyliczył ją Lars Onsager - więcej o nim (w szczególności o jego wykładach z "Mechaniki sadystycznej") tutaj. Egzotyczne zastosowania modelu Isinga: formowanie się opinii wyborców, ewolucja języka czy modele segregacji społecznej (więcej np. tu). Model pola średniego. Samozgodne wyliczanie magnetyzacji i przejście fazowe paramagnetyk-ferromagnetyk. Symulacja Roberta Budzyńskiego. Odwrócone whadło i bifurkacja widelcowa (pitchfork).
Wykład 26:
Podgrzewamy gwóźdź ponad temperaturę Curie. A potem powrót do Isinga. Magnetyzacja w okolicy \(T_c\) ciągła, opada potęgowo dla \(T\)<\(T_c\). Podatność magnetyczna w okolicy \(T_c\) - rozbiega się jak \((T-T_c)^{-1}\) dla \(T>T_c\) oraz \((T_c-T)^{-1}\) dla \(T_c>T\) (wszystko w ramach pola średniego). Krajobraz energii swobodnej i jego zmiany w \(T=T_c\).
Symetria w przyrodzie - od Piotra Curie do tajemniczych pudełek Liptona. Postrach chemików - krystalografia. I dalej w świat grup punktowych. Symetrie pól fizycznych i opisujących je równań. Slajdy do wykładu.
Wykład 27:
Jurij Wiktorowicz Wulff - krystalograf z Uniwersytetu Warszawskiego i jego uczeń Aleksy Szubnikow.
Schur i jego lemat. Opowieści z życia irrepsów: jak użyć lematu Schura do znajdowania liczby
modów drgań cząsteczki o danej symetrii? Przykłady. Piotr Curie i twierdzenie o symetrii skutku i
przyczyny. Dlaczego Radek podnosi płyty chodnikowe?
I jak się to ma do lepkich palców - odwiedźcie przy okazji stronę n-e-r-v-o-u-s.com. Grupy graniczne. Slajdy do wykładu.
Wykład 28:
Trochę o Wszechświecie. Entropia Wszechświata - czy rośnie? Powinna, ale skoro tak to czemu jednorodna kula ognista na samym początku? Grawitacja! Kolaps zwiększa entropię układu. Zlewy entropii - czarne dziury. Promieniowanie Hawkinga i temperatura czarnej dziury. Wzór Bekensteina-Hawkinga na entropię czarnej dziury. Paradoks informacyjny: czy to wszystko jedno czy wrzucić do czarnej dziury stół i krzesło, jeśli tylko mają te same masy? Patrz też tu. Zakład Hawkinga-Thorne'a-Preskilla częściowo wygrany przez Preskilla - zobaczcie tu lub tu.
Wykład 29 i ostatni:
Jeszcze o czarnych dziurach. Ograniczenie Susskinda - jak policzyć entropię osiedla?. Skończoność informacji o świecie. Zasada holograficzna t'Hoofta: czy żyjemy w dwóch wymiarach? (więcej np. w artykule Bekensteina)
Mapa fizyki statystycznej i propozycje wykładów. Zajrzyjcie
tu,
tu,
tu,
tu, tu,
tu,
tu, tu lub
tu.
Egzotyczna fizyka statystyczna. Czy można tworzyć hydrodynamikę owiec? Można, ale trzeba miec psy pasterskie (napięcie powierzchniowe). Podniebne tańce szpaków i model Reynoldsa. Model Nagela-Schrekenberga ruchu ulicznego i czy opłaca się byc uprzejmym na szosie? Eksperyment z Nagoi: jeździmy w kółko i odkrywamy korki znikąd. Modele ruchu mas ludzkich - chodzenie gęsiego i panika. Kryształy ludzkie. Dynamika wydeptywania czyli czemu opłaca sie skracać ścieżki i jak to sprytnie robić. Slajdy do wykładu.
[1] F. Reif Fundamentals of statistical and thermal physics (uwaga! to tzw. duży Reif w odróżnieniu od małego, który jest częścią Berkelejowskiego kursu fizyki)
[2] R. Baierlein Thermal Physics
[3] D. V. Schroeder An Introduction to Thermal Physics
[4] L. E. Reichl A modern course in statistical physics
[5] C. Kittel & H. Kroemer Thermal Physics
[6] H. Callen Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics
[7] M. E. Tuckerman Statistical Mechanics: Theory and Molecular Simulation
[8] R. Hołyst, A. Poniewierski, A. Ciach Termodynamika dla chemików, fizyków i inżynierów
[9] D. N. Zubarev Termodynamika statystyczna
R. Kubo Thermodynamics: An Advanced Course with Problems and Solutions
R. Kubo Statistical Mechanics. An Advanced Course with Problems and Solutions
P. T. Landsberg Problems in Thermodynamics and Statistical Physics
